##### 直和分解 - 直和分解 - **直和分解**是将一个[[向量空间]]分解成若干个子空间[[子空间的直和|直和]]的过程, 要求这些子空间满足零交集和覆盖性条件, 即 $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_n$ , 有助于将复杂的空间结构简化为多个独立的部分 - [[向量空间的基|基向量]]的[[张成空间]] - $B=\{\mathbf{b_1},...,\mathbf{b_n}\}$ 是 $V$ 的基 - $V=\text{span}\{\mathbf{b}_1\} \oplus\cdots\oplus \text{span}\{\mathbf{b}_n\}$ - [[零空间]]和[[行空间]] - $\mathbb{F}^n = \text{Nul}(A) \oplus \text{Row}(A)$ - [[左零空间]]和[[列空间]] - $\mathbb{F}^m = \text{Nul}(A^T) \oplus \text{Col}(A)$ - [[正交补]] - $V = W \oplus W^\perp$ - [[特征空间]], 需要特征值的几何重数等于代数重数 - $\mathbb{F}^n = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_n}$ - [[广义特征空间]] - $\mathbb{F}^n = G_{\lambda_1} \oplus G_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus G_{\lambda_n}$