##### 相异代表系 - 相异代表系 - **相异代表系**是指从一个[[集合族]]中, 为每个[[集合]]选出一个唯一的代表元素, 且这些代表元素互不相同. 给定集合族 $\mathcal{A}=\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$, 一个相异代表系是一个集合 $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$, 其中 $x_i \in S_i$ 且 $x_i \neq x_j$​ 对于所有 $i \neq j$. 即选择的元素 $x_1, x_2, \dots, x_n$​ 是来自每个集合 $S_i$​ 的代表元素, 并且这些代表元素之间互不相同. 相异代表系存在的充要条件是满足[[霍尔婚配定理|霍尔条件]], 直观解释任何 $k$ 个集合的并集必须包含至少 $k$ 个不同元素, 否则无法选出 $k$ 个不重复的代表 - $\displaystyle \left| \bigcup_{i \in I} A_i \right| \ge |I|$, $I \subseteq \{1,\ldots,n\}$ >[!example]- 相异代表系 > - $A_1 = \{1, 2\}, A_2 = \{2, 3\}, A_3 = \{3, 4\}$ > - 满足霍尔条件, 一种相异代表系为 $(1, 2, 3)$