##### 矩阵变换 - 矩阵变换 - **矩阵变换**使用[[矩阵]]的[[矩阵乘法|乘法]]表示[[向量空间|有限维向量空间]]之间的[[线性变换]], 即[[线性变换的矩阵表示]], 可分为矩阵左乘和右乘. 存在一些[[几何变换|线性几何变换]], [[线性方程组]]是矩阵变换的一种实例. 线性变换描述的是对一般抽象[[向量]]的作用过程, 而矩阵变换描述的是对[[坐标向量]]的作用过程 - $T:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^m$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ - [[线性变换]], 将一个 $n$ 维的列向量 $\mathbf{x}$ 映射到 $m$ 维 - 定义域 $\mathbb{F}^n$ | [[零空间]] ${\rm Nul} A$ - 陪域 $\mathbb{F}^m$ | 值域([[列空间]]) ${\rm Col} A$ - $n=\dim{\rm Nul} A+\dim{\rm Col} A$ - $T:\mathbb{F}^m\rightarrow\mathbb{F}^n$, $T(\mathbf{x})=A^T\mathbf{x}=\mathbf{x}A$, $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ - [[对偶映射]], 将一个 $m$ 维的行向量 $\mathbf{x}$ 映射到 $n$ 维 - 定义域 $\mathbb{F}^m$ | [[左零空间]] ${\rm Nul} A^T$ - 陪域 $\mathbb{F}^n$ | 值域([[行空间]]) ${\rm Row} A$ - $m=\dim{\rm Nul} A^T+\dim{\rm Row} A$ - $T:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ - [[线性算子]], 将一个 $n$ 维的列向量 $\mathbf{x}$ 映射到 $n$ 维 - 定义域 $\mathbb{F}^n$ | [[零空间]] ${\rm Nul} A$ - 陪域 $\mathbb{F}^n$ | 值域([[列空间]]) ${\rm Col} A$ - $n=\dim{\rm Nul} A+\dim{\rm Col} A$ - [[特征空间]] | [[广义特征空间]] >[!example]- 矩阵变换 > - $T:\mathbb{F}^2\rightarrow\mathbb{F}^3$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, $A =\begin{bmatrix} 1 & -3\\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix}$ > - $T(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix})=x_1\begin{bmatrix} 1\\3\\-1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} -3\\5\\7\end{bmatrix}$ > - $T(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 1\\3\\-1\end{bmatrix}$ > - $T(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} -3\\5\\7\end{bmatrix}$