##### 矩阵合同 - 矩阵合同 - **矩阵合同** $A\simeq B$ 指对于[[方阵]] $A$ 与 $B$ 存在[[可逆矩阵|可逆矩阵]] $P$ 使得 $P^{T}AP=B$ 或 $P^{*}AP=B$. 矩阵合同的本质在于它们代表的是同一个[[双线性型]]或[[埃尔米特型]]关于不同基底的矩阵, 等式 $P^{T}AP=B$ 也称为两种变换的换基公式, $P$ 为[[基的变换|过渡矩阵]]. 所以合同矩阵共有同一双线性型的性质. 常用矩阵合同有[[二次型的标准形]] - $A\simeq B \iff A=[T]_{\mathcal{C}},\ B=[T]_{\mathcal{D}}$ , $T \in V^{(2)}$ >[!example]- 矩阵合同 >- $T \in V^{(2)}$ > - $A$ 是 $T$ 关于基 $C$ 的变换矩阵, $[T(u,v)]_\mathcal{C}=[u]_\mathcal{C}^TA[v]_\mathcal{C}$ > - $B$ 是 $T$ 关于基 $D$ 的变换矩阵, $[T(u,v)]_\mathcal{D}=[u]_\mathcal{D}^TB[v]_\mathcal{D}$ > - $P$ 是过渡矩阵 $[u]_\mathcal{D}=P_{\mathcal{C}\to \mathcal{D}}[u]_\mathcal{C}$ , $[v]_\mathcal{D}=P_{\mathcal{C}\to \mathcal{D}}[v]_\mathcal{C}$ >- 于是 > - $[T(u,v)]_\mathcal{D}=[u]_\mathcal{D}^TB[v]_\mathcal{D}=(P[v]_\mathcal{C})^TB(P[v]_\mathcal{C})=[u]_\mathcal{C}^T(P^TBP)[v]_\mathcal{C}$ > - $[T(u,v)]_\mathcal{C}=[u]_\mathcal{C}^TA[v]_\mathcal{C}$ > - $A=P^TBP$ >- $B((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) =x_1y_2−5x_2y_3+2x_3y_1$ > - 设标准基 $\mathcal{E}=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ > - $A = \begin{bmatrix} B(e_1, e_1) & B(e_1, e_2) & B(e_1, e_3) \\ B(e_2, e_1) & B(e_2, e_2) & B(e_2, e_3) \\ B(e_3, e_1) & B(e_3, e_2) & B(e_3, e_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ > - 设基 $\mathcal{C}=\{(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ > - $D = \begin{bmatrix} B(c_1, c_1) & B(c_1, c_2) & B(c_1, c_3) \\ B(c_2, c_1) & B(c_2, c_2) & B(c_2, c_3) \\ B(c_3, c_1) & B(c_3, c_2) & B(c_3, c_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T D \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}$ > - 过渡矩阵 $P_{\mathcal{E}\to \mathcal{C}}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}$ > - $P^T A P=D$ > - $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - 同一双线性型关于不同基的矩阵表示之间是矩阵合同的