##### 矩阵的秩 - 矩阵的秩 - **矩阵的秩**等于[[矩阵]]的行秩和列秩, 记做 ${\rm rank}A$, 指矩阵的最大线性无关行或列的个数, 可以描述行列线性相关的程度. 矩阵的秩是[[线性变换]]的**值域维数**, 行秩是[[向量组的秩|行向量组的秩]]也是矩阵[[行空间]]的[[向量空间的维数|维数]], 列秩是[[向量组的秩|列向量组的秩]]也是矩阵[[列空间]]的[[向量空间的维数|维数]], 矩阵的秩等于矩阵[[行列式的子式|非零子式]]的最高阶数, 等于[[主元列]]个数. 行列满秩就是秩的大小和行数或者列数相同 - ${\rm rank}A=\dim{\rm Row}A=\dim{\rm Col}A$ >[!example]- 矩阵的秩 > - $A=\begin{bmatrix} 4 & 7 & 1 & 8\\ 3 & 5 & 2 & 9\end{bmatrix}$ > - 行向量组的秩 > - 极大线性无关组为 $(4,7,1,8),(3,5,2,9)$ 两个向量 > - ${\rm rank}\{(4,7,1,8),(3,5,2,9)\}=2$ > - 列向量组的秩 > - 极大线性无关组为 $(4,3),(7,5)$ 两个向量 > - ${\rm rank}\{(4,3),(7,5),(1,2),(8,9)\}=2$ > - 非零子式 > - 非零子式最高阶为 $2$ > - $\begin{vmatrix}4&7\\3&5 \end{vmatrix}\neq0$