##### 矩阵相似 - 矩阵相似 - **矩阵相似** $A\sim B$ 指对于[[方阵]] $A$ 与 $B$ 存在[[可逆矩阵|可逆矩阵]] $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$ . 矩阵相似的本质在于它们代表同一个[[线性算子]]关于不同基底的矩阵, 等式 $P^{-1}AP=B$ 也称为线性算子的换基公式, $P$ 为[[基的变换|过渡矩阵]]. 所以相似矩阵共有同一线性算子的性质, 例如[[矩阵的秩|秩]], [[特征值和特征向量|特征值]], [[矩阵的迹|迹]], [[行列式]], [[特征多项式]]都相同. 常用矩阵相似有[[可上三角化矩阵]], [[可对角化矩阵]], [[可若尔当化矩阵]], [[可正交对角化矩阵]] - $A\sim B \iff A=[T]_{\mathcal{C}},\ B=[T]_{\mathcal{D}}$ , $T \in L(V)$ >[!example]- 矩阵相似 >- $T \in L(V)$ > - $A$ 是 $T$ 关于基 $\mathcal{C}$ 的变换矩阵, $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{C}=A[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $B$ 是 $T$ 关于基 $\mathcal{D}$ 的变换矩阵, $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{D}=B[\mathbf{v}]_\mathcal{D}$ > - $M$ 是 $T$ 从基 $C$ 到基 $D$ 的变换矩阵, $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{D}=M[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $P$ 是过渡矩阵 $[\mathbf{v}]_\mathcal{D}=P_{\mathcal{C}\to\mathcal{D}}[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $P^{-1}=P_{\mathcal{D}\to\mathcal{C}}$ >- 于是 > - $A[\mathbf{v}]_\mathcal{C}=P^{-1}M[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $M[\mathbf{v}]_\mathcal{C}=BP[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $A[\mathbf{v}]_\mathcal{C}=P^{-1}BP[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $A=P^{-1}BP$ > - $B=PAP^{-1}$ >- $T \in L(\mathbb{R}^2)$, $T(x,y)=(x+2y,3x+2y)$ > - $A$ 是 $T$ 关于基 $\mathcal{E}=\{(1,0),(0,1)\}$ 的变换矩阵 > - $[T(\mathbf{e}_1)]_\mathcal{E}=(1,3)$ > - $[T(\mathbf{e}_2)]_\mathcal{E}=(2,2)$ > - $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ > - $B$ 是 $T$ 关于基 $\mathcal{B}=\{(1,1),(1,0)\}$ 的变换矩阵 > - $[T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B}=(5,-2)$ > - $[T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B}=(3,-2)$ > - $B = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$ > - $P$ 是过渡矩阵 $[\mathbf{v}]_\mathcal{B}=P_{\mathcal{E}\to\mathcal{B}}[\mathbf{v}]_\mathcal{E}$ > - $[\mathbf{e}_1]_\mathcal{B}=(0,1)$ > - $[\mathbf{e}_2]_\mathcal{B}=(1,-1)$ > - $P_{\mathcal{E}\to\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ > - $P_{\mathcal{B}\to\mathcal{E}} = P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ > - $A$ 和 $B$ 是矩阵相似的 > - $A=P^{-1}BP$ > - $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ > - $B=PAP^{-1}$ > - $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$