##### 矩阵等价 - 矩阵等价 - **矩阵等价** $A\cong B$ 指[[矩阵]] $A$ 经过有限次的[[初等变换]]可以变成矩阵 $B$, 即 $PAQ=B$ 其中 $P$, $Q$ 为[[可逆矩阵]]或者说[[初等矩阵]], 可单独分为行变换 $PA=B$ 和列变换 $AQ=B$ , 即[[张成空间|行列向量组等价]]. 矩阵等价的本质在于它们代表同一个[[线性变换]]关于不同基底的矩阵, 等式 $PAQ=B$ 也称为线性变换的换基公式, $P$, $Q$ 为定义和目标空间[[基的变换|过渡矩阵]]. 所以等价矩阵共有同一线性变换的性质, 保持矩阵内行列线性相关的程度或者说变换的行列空间维数即[[矩阵的秩]]相等 - $A\cong B\iff A=[T]_{\mathcal{C}\to \mathcal{D}},\ B=[T]_{\mathcal{E}\to \mathcal{F}}$ , $T \in L(V,W)$ >[!example]- 矩阵等价 >- $T \in L(V,W)$ > - $A$ 是 $T$ 关于基 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 的变换矩阵, $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{D}=A[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $B$ 是 $T$ 关于基 $\mathcal{E}$, $\mathcal{F}$ 的变换矩阵, $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{F}=B[\mathbf{v}]_\mathcal{E}$ > - $P$ 是过渡矩阵 $[\mathbf{v}]_\mathcal{E}=P_{\mathcal{C}\to \mathcal{E}}[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $P^{-1}=P_{\mathcal{E}\to \mathcal{C}}$ > - $Q$ 是过渡矩阵 $[\mathbf{v}]_\mathcal{F}=Q_{\mathcal{D}\to \mathcal{F}}[\mathbf{v}]_\mathcal{D}$ > - $Q^{-1}=Q_{\mathcal{F}\to \mathcal{D}}$ >- 于是 > - $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{F}= Q[T(\mathbf{v})]_\mathcal{D} = QA[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $[T(\mathbf{v})]_\mathcal{F}=B[\mathbf{v}]_\mathcal{E}=BP[\mathbf{v}]_C$ > - $QA[\mathbf{v}]_\mathcal{C}=BP[\mathbf{v}]_\mathcal{C}$ > - $QA=BP$ > - $QAP^{-1}=B$ > - $Q^{-1}BP=A$