##### 矩阵范数 - 矩阵范数 - **矩阵范数**是矩阵空间中的[[范数]], 它把[[矩阵]]映射到非负实数, 用来衡量矩阵的大小, 有多种矩阵范数, 如果将矩阵视为线性算子其范数也称为[[算子范数]]. - $f:M\to \mathbb{R}$, $A,B\in M$, $\alpha\in\mathbb{F}$ - $||A|| \geq 0$ 且 $||A|| = 0$ 当且仅当 $A$ 是零矩阵 - $||\alpha A|| = |\alpha| \cdot ||A||$ - $||A + B|| \leq ||A|| + ||B||$ - $||AB|| \leq ||A|| \cdot ||B||$ - 1-范数, 矩阵所有列元素绝对值之和的最大值 - $\displaystyle||A||_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{m} |a_{ij}|$ - 2-范数, 矩阵的最大[[奇异值]] - $\displaystyle||A||_2=\sigma_{\max}(A)$ - ∞-范数. 矩阵所有行元素绝对值之和的最大值 - $\displaystyle||A||_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$ - F-范数, 矩阵所有元素的平方和再开平方 - $\displaystyle ||A||_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{\min(m,n)} \sigma_i^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2}$