##### 确界 - 确界 - **确界**是[[界]]中的[[最值]]. 上确界也称最小上界是上界中的最小元素, 下确界也称最大下界是下界中的最大元素, 对于实数有[[确界定理]]. 设 $(A, \leq)$ 为一个偏序集, $B \subseteq A$, 子集 $B$ 的上界为 $U(B) = \{u \in A \mid \forall b \in B, b \leq u\}$, 若 $U(B)$ 有最小元, 则称该元为 $B$ 的上确界, 记作 $\sup B=u$. 子集 $B$ 的为 $L(B) = \{l \in A \mid \forall b \in B, \; l \leq b\}$, 若 $L(B)$ 有最大元, 则称该元为 $B$ 的下确界, 记作 $\inf B=l$ - $\sup B=u$ - $\inf B=l$ > [!example]- 确界 >- 实数集合 $S = \{1, 2, 3\}$ > - $\sup S = 3$ 上确界 > - $\inf S = 1$ 下确界 >- 实数区间 $T = (0, 1)$ > - $\sup T = 1$ 上确界, 虽然 $1$ 不在 $T$ 中 > - $\inf T = 0$ 下确界, 虽然 $0$ 不在 $T$ 中 >- 有理数集合 $A = \{q\mid q \in \mathbb{Q} \land q^2 < 2\}$ > - 没有上确界, $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$