##### 确界定理 - 确界定理 - **确界定理**是指在非空[[实数]]集中, 若含[[界|上界]], 则必含最小上界, 即[[确界|上确界]]; 若含[[界|下界]], 则必存在最大下界, 即[[确界|下确界]]. 利用[[戴德金分割法]]证明非空实数集 $S$ 有上界必有最小上界. 通过构造集合 $F$ 和 $E$ 并证明它们构成一个戴德金分割 $(E, F)$, 我们得到了一个分割点 $b$, 该点是 $S$ 的最小上界 - 设 $F$ 为 $S$ 的上界集, $E$ 是 $\mathbb{R}$ 对于 $F$ 的补集 - 则 $(E,F)$ 是一个戴德金分割 - 则由戴德金分割的性质, 存在一个实数 $b$ 满足 $\forall x \in E, x \leq b$ 并且 $\forall y \in F, b \leq y$, 也就是说, $b$ 是所有 $E$ 中的元素的上界, 同时也是 $F$ 中所有元素的下界, 根据分割性质, $b$ 恰好位于 $E$ 和 $F$ 的分界线上 - 则 $b$ 是 $S$ 的上界, 由于 $F$ 是 $S$ 的所有上界的集合, 并且 $b \leq y$ 对 $F$ 中的所有 $y$ 成立, 意味着 $b$ 本身是 $S$ 的上界 - 则 $b$ 是 $S$ 的最小上界. 如果 $b$ 不是最小上界, 那么存在一个比 $b$ 更小的上界 $b' \in F$, 但这与 $\forall y \in F, b \leq y$ 的性质不符, 因此, $b$ 是 $S$ 的最小上界