##### 积分换元法 - 不定积分 - 第一类换元法也称为凑微分法, 其核心思想是通过将[[反导数|不定积分]]被积函数的一部分凑成某个函数的[[微分]], 从而简化积分, 设 $u=g(x)$, 则 $\text{d}u=g'(x)\text{d}x$, 如果被积函数可以表示为 $f(g(x))g'(x)$, 则 $\displaystyle\int f(g(x))g'(x){\rm d}x=\int f(u)\text{d}u$ - $\displaystyle\int f(g(x))g'(x){\rm d}x=\int f(g(x)){\rm d}(g(x))=\int f(u){\rm d}u$ - $\displaystyle\int f(u){\rm d}u=F(u)+C=F(g(x))+C$ - 第二类换元法也称为变量代换法, 与第一类换元法思想相反, 其核心思想是通过引入新的变量替换[[反导数|不定积分]]被积函数中的复杂部分, 从而简化积分. 设 $x=g(u)$, 则 $\text{d}x=g'(u)\text{d}u$, 如果被积函数可以表示为 $f(x)$, 则 $\displaystyle\int f(x){\rm d}x=\int f(g(u))g'(u){\rm d}u$ - $\displaystyle\int f(x){\rm d}x\xlongequal{x=g(u)}\int f(g(u)){\rm d}(g(u))=\int f(g(u))g'(u){\rm d}u$ - 定积分 - [[积分]]第一类换元法与上相同, 但要处理上下限. 令 $u=g(x)$ , 且 $g'$ 在 $[a,b]$ 内连续, $f$ 在 $u=g(x)$ 值域内连续, 则可换元 - $\displaystyle∫^b_af(g(x))g'(x){\rm d}x=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u){\rm d}u$ - [[积分]]第二类换元法与上相同, 但要处理上下限. 令 $x=g(u)$ , 且 $g$ 在 $[a,b]$ 内可导且单调, 反函数 $g^{-1}(x)$ 存在, 则可换元 - $\displaystyle \int^{b}_{a}f(x){\rm d}x = \int^{g^{-1}(b)}_{g^{-1}(a)} f(g(u))g'(u){\rm d}u$ >[!example]- $\displaystyle\int2\cos{2x}{\rm d}x$ > - $\displaystyle\int2\cos{2x}{\rm d}x = \int\cos{2x}(2x)'{\rm d}x=\int\cos{u}{\rm d}u=\sin{u}+C=\sin{2x}+C$ >[!example]- $\displaystyle\int\cos^2x{\rm d}x$ > - $\displaystyle\int\cos^2x{\rm d}x=\int\frac{1+\cos{2x}}{2}{\rm d}x=\frac{1}{2}\int1{\rm d}x+\frac{1}{2}\int\cos2x{\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$ >[!example]- $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}{\rm d}x$ > - $x=a\sin{t}$, $t=\arcsin\frac{x}{a}$, $\cos{t}=\sqrt{1-\sin^2{t}}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ > - $原式=\displaystyle\int a\cos{t}\cdot a\cos{t}{\rm d}t=a^2\int\cos^2t{\rm d}t=a^2(\frac{t}{2}+\frac{\sin{t}\cos{t}}{2}+C)$ > - $\displaystyle=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$