##### 空间坐标变换 - 空间坐标变换 - **空间坐标变换**指[[空间直角坐标系]] $P(x,y,z)$, [[柱坐标系]] $P(\rho,\theta,z)$ 和[[球坐标系]] $P(r,\theta,\varphi)$ 之间的[[坐标变换]] - 柱坐标系转空间直角坐标系 - $\begin{cases} x=\rho\cos\theta \\ y=\rho\sin\theta \\ z=z \end{cases}$ - 球坐标系转空间直角坐标系 - $\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta \\ y=r\sin\varphi\sin\theta \\ z=r\cos\varphi \end{cases}$ - 空间直角坐标系转柱坐标系 - $\begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta={\rm atan2}(x,y) \\ z=z\end{cases}$, ${\rm atan2}=\begin{cases} \arctan(\frac{y}{x})& x>0 \\ \arctan(\frac{y}{x})+\pi& x<0\land y\geq0 \\ \arctan(\frac{y}{x})-\pi& x>0\land y<0 \\ \frac{\pi}{2}&x=0\land y>0 \\-\frac{\pi}{2}&x=0\land y<0 \\\text{undefined}&x=0\land y=0 \end{cases}$ - 空间直角坐标系转球坐标 - $\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta={\rm atan2}(x,y) \\ \varphi=\arccos(\frac{z}{r}) \end{cases}$, ${\rm atan2}=\begin{cases} \arctan(\frac{y}{x})& x>0 \\ \arctan(\frac{y}{x})+\pi& x<0\land y\geq0 \\ \arctan(\frac{y}{x})-\pi& x>0\land y<0 \\ \frac{\pi}{2}&x=0\land y>0 \\-\frac{\pi}{2}&x=0\land y<0 \\\text{undefined}&x=0\land y=0 \end{cases}$ - 示例 - 空间直角坐标 $A(1,0,1)$ 柱坐标 $\displaystyle A(1,0,1)$ 球坐标 $\displaystyle A(\sqrt{2},0,\frac{\pi}{4})$ - 空间直角坐标 $B(1,1,1)$ 柱坐标 $\displaystyle B(\sqrt{2},\frac{\pi}{4},1)$ 球坐标 $\displaystyle A(\sqrt{3}, \frac{\pi}{4}, \arctan(\sqrt{2}))$