##### 笛卡尔积 - 笛卡尔积 - **笛卡尔积**是多个集合之间所有可能的元素的[[有序元组]]的[[集合]], 也称为直积. 如果有两个集合 $A$ 和 $B$, 则它们的笛卡尔积 $A_1 \times A_2$ 是由所有形式为 $(A_1, A_2)$ 的有序对组成的集合, 其中 $a_1\in A_1$ , $a_2\in A_2$. 也可以推广到多个集合 $A_1\times A_2\times \cdots\times A_n$, 它们的笛卡尔积定义为所有形式为 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 的有序元组的集合, 其中 $a_i \in A_i$, $1 \leq i \leq n$ - 记作 $A_1 \times A_2=\{(a_1,a_2)\mid a_1\in A_1 \land a_2\in A_2\}$ - 记作 $A_1 \times A_2\times...\times A_n=\{(a_1,a_2,...,a_n)\mid a_i\in A_i,i=1,2,...,n \}$ >[!example]- 笛卡尔积 >- $A = \{1, 2\}$ , $B = \{x, y\}$ > - $A \times B=\{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)\}$ >- $A = \{0, 1\}$ , $B = \{1, 2\}$ , $C=\{0,1,2\}$ > - $A \times B\times C=\{(0,1,0),(0,1,1),(0,1,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,0),(1,2,1),(1,2,2)\}$ >- 实数的笛卡尔积 > - $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\mathbb{R}=\{(a_1,a_2,...,a_n)\mid a_i\in \mathbb{R} \}$ >- 实数区间的笛卡尔积 > - $[a, b] \times [c, d] = \{ (x, y) \ | \ a \leq x \leq b, \ c \leq y \leq d \}$ >- $A=\{1,2\}$, $B=\{2,3,4\}$ > - $A\times B=\{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)\}$ > - ![[opentext_数学_笛卡尔积.png]]