##### 简单函数 - 简单函数 - **简单函数**是由可测集确定的[[阶跃函数]], 可以认为是一个分段常值函数. 设[[可测空间]] $(X,\mathcal{A})$ , [[可测集|不相交可测集]]序列 $A_1,\dots,A_n\in \mathcal{A}$ , 实数或复数序列 $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{F}$, 则一个简单函数就是一个映射 $f:X\to\mathbb{F}$ , 是可测集[[指示函数]] ${\mathbf {1} }_{A_{i}}(x)$ 的有限[[线性组合]] - $\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot \mathbf{1}_{A_{i}}(x)$ , $\mathbf{1}_{A_i}(x) = \begin{cases} 1, & x \in A_i\\ 0, & x \notin A_i \end{cases}$ >[!example]- 简单函数 > - 设 $X=[0,3]$, 定义函数 $f: X \to \mathbb{R}$ 为 > - $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in [0, 1) \\ 2, & x \in [1, 2) \\ 3, & x \in [2, 3] \end{cases}$ > - $f(x)$ 是简单函数, 因为它只取值 $1,2,3$ 且 > - $f(x) = 1 \cdot {\mathbf {1} }_{[0,1)}(x) + 2 \cdot {\mathbf {1} }_{[1,2)}(x) + 3 \cdot {\mathbf {1} }_{[2,3]}(x)$