##### 算子的行列式 - 算子的行列式 - **算子的行列式** $\det(T)$ 是一种特殊的[[多重线性型|交错多重线性型]], 它不仅衡量了[[线性算子]]的空间缩放比例, 也揭示了算子是否可逆, 更重要的是它是[[向量空间的基|基]]无关的, 即无论选择哪组基, [[行列式]]的值都相同. 给定线性算子 $T: V \to V$, 定义一个交错多重线性型 $D_T: V^n \to \mathbb{R}$, 则存在一个标量 $\det(T)$, 使得 $D_T$ 的作用转化为一个比例因子, 并且对于恒等变换 $T=I$ 满足归一化要求 $\det(I) = 1$ - $D_T(\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \dots, \mathbf{v}_n ) = f(T(\mathbf{v}_1 ), T(\mathbf{v}_2 ), \dots, T(\mathbf{v}_n ))$ - $D_T(\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \dots, \mathbf{v}_n ) = \det(T) \cdot f(\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \dots, \mathbf{v}_n )$ - $D_I(\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \dots, \mathbf{v}_n ) = f(I(\mathbf{v}_1 ), I(\mathbf{v}_2 ), \dots, I(\mathbf{v}_n )) = f(\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 , \dots, \mathbf{v}_n )$ - $\det(T)=\det(A)$ - $\displaystyle\det(A)=\prod^{n}_{i=1}\lambda_i$ >[!example]- 算子的行列式 > - 设线性算子 $T: V \to V$, 选择 $V$ 的一组基 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$. 则 $T$ 在该基下由矩阵 $A = [a_{ij}]$ 表示, 并且有 > - $\displaystyle T(\mathbf{e}_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \mathbf{e}_i$ > - 设标准交错多重线性型 $f$, 其中 $\text{sgn}(\sigma)$ 是置换符号, 它不仅是一个交错多重线性型, 更是标准的默认满足 $f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n ) = 1$, 也就是将基的空间比例标准化为 $1$ > - $f(\mathbf{e}_{i_1}, \mathbf{e}_{i_2}, \dots, \mathbf{e}_{i_n}) = \begin{cases} \text{sgn}(\sigma), & \text{若 } (i_1, i_2, \dots, i_n) \text{ 是 } (1, 2, \dots, n) \text{ 的一个置换 } \sigma \\ 0, & \text{若有任意两个 } i_k \text{ 相同} \end{cases}$ > - 现在计算 $D_T(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n )$ > - $\displaystyle D_T(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n ) = f(T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2), \dots, T(\mathbf{e}_n ))$ > - $\displaystyle D_T(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n ) = f\left( \sum_{i_1} a_{i_1 1} \mathbf{e}_{i_1}, \sum_{i_2} a_{i_2 2} \mathbf{e}_{i_2}, \dots, \sum_{i_n} a_{i_n n} \mathbf{e}_{i_n} \right)$ > - 由于 $f$ 的多重线性性, 将其展开有 > - $\displaystyle D_T(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n ) = \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n} f(\mathbf{e}_{i_1}, \mathbf{e}_{i_2}, \dots, \mathbf{e}_{i_n})$ > - 由于 $f$ 的交错性, 只有当 $(i_1, i_2, \dots, i_n)$ 是 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的置换时 $f(\mathbf{e}_{i_1}, \mathbf{e}_{i_2}, \dots, \mathbf{e}_{i_n}) = \text{sgn}(\sigma)$, 否则为零, 因此 > - $\displaystyle D_T(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n ) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1) 1} a_{\sigma(2) 2} \cdots a_{\sigma(n) n}$ > - 所以这正是矩阵 $A$ 的行列式, 对矩阵的列向量进行置换 > - $\displaystyle \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}$ > - 因此 > - $\det(T) = \det(A)$