##### 线性变换 - 线性变换 - **线性变换** $T$ 是[[向量空间]]之间的[[映射]] $T:V\rightarrow W$, 满足向量加法与标量乘法不变, 即 $T(\mathbf{a}+\mathbf{b})=T(\mathbf{a})+T(\mathbf{b})$ 与 $T(c\mathbf{a})=cT(\mathbf{a})$, 也就是保持[[线性组合]]. 从 $𝑉$ 到 $𝑊$ 全体线性变换构成的集合是线性变换的向量空间, 记作 $L(𝑉,𝑊)$, 而从 $𝑉$ 到 $𝑉$ 的记作 $L(𝑉)$. [[矩阵变换]]可以[[线性变换的矩阵表示|表示]]有限维向量空间之间的线性变换, 并且服从[[秩-零化度定理]], 线性变换运算可化为[[矩阵运算]], 线性变换的加减复合成为矩阵加减乘积. 线性变换可以推广为[[双线性变换]], [[多重线性变换]], 涉及[[多重线性代数]] - $T:V\rightarrow W$ - 定义域 (定义空间) $V$ | 定义域中能映射到零向量的是[[零空间|核空间]] - 陪域 (目标空间) $W$ | 陪域中能被定义域映射到的是值域或者说[[列空间|像空间]] - ![[opentext_数学_线性变换.png]] - 对应类型 - [[单射线性变换]] - [[映射|单射]]当且仅当[[零空间]]为 $\{\mathbf{0}\}$, 在[[矩阵变换]]中就是[[矩阵的秩|列满秩]]矩阵. 若单射, 则 $\dim V\leq \dim W$ - [[满射线性变换]] - [[映射|满射]]当且仅当值域为陪域, 在[[矩阵变换]]中就是[[矩阵的秩|行满秩]]矩阵. 若满射, 则 $\dim V\geq \dim W$ - [[双射线性变换]] - [[映射|双射]]当且仅当既是单射又是满射, 在[[矩阵变换]]中就是[[矩阵的秩|满秩]]方阵. 若双射, 则 $\dim V= \dim W$ - [[可逆算子|可逆线性变换]] - [[映射|可逆]]当且仅当双射, 也是向量空间的[[向量空间的同构|同构]], 在[[矩阵变换]]中就是满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ 的[[可逆矩阵]] $A$ - 集合类型 - [[线性算子]] $T:V\rightarrow V$ - 向量空间到其自身的线性映射 - [[线性泛函]] $T:V\rightarrow \mathbb{F}$ - 线性泛函是向量空间映射到数域的线性映射 - [[对偶映射]] $T':W'\rightarrow V'$ - 线性变换对偶的矩阵等于线性变换矩阵的转置 - [[双线性型]] $T:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ - 将两个向量空间的向量映射到基础域上 - [[埃尔米特型]] $T:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$ - 将两个向量空间的向量映射到复数域上 - 内积空间 - [[伴随映射]] $T^*:W\rightarrow V$, $\langle T(\mathbf{v}),\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v},T^*(\mathbf{w})\rangle$ - 线性变换伴随的矩阵等于线性变换矩阵的共轭转置 - [[自伴算子]] $T:V\rightarrow V$, $T=T^∗$ - 与自身伴随相等的算子 - [[正规算子]] $T:V\rightarrow V$, $T\circ T^*=T^*\circ T$ - 与自身伴随可交换的算子 - [[正算子]] $T:V\rightarrow V$, $\langle T(\mathbf{v}), \mathbf{v} \rangle \geq 0$ - 满足特定非负性条件的自伴算子 - [[等距映射]] $T:V\rightarrow W$, $||T(\mathbf{v})||=||\mathbf{v}||$ - 保持距离不变的线性变换 - [[正交变换]] $T:V\rightarrow V$, $\langle T(\mathbf{v}), T(\mathbf{w}) \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle$ - 保持内积不变的线性算子 - [[酉算子]] $T:V\rightarrow V$, $\langle T(\mathbf{v}), T(\mathbf{w}) \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle$ - 保持内积不变的线性算子 - [[正交投影]] $T:V\rightarrow V$, $T^2=T$, $T^* = T$ - 自伴的投影算子是正交投影 >[!example]- 线性变换 > - 零映射 > - 令 $0 \in L(V, W)$ 定义为 $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 这是一个将所有向量映射到零向量的线性变换 > - 恒等算子 > - 令 $I \in L(V)$ 定义为 $I\mathbf{v} = \mathbf{v}$ 这是一个将所有向量映射到其自身的线性变换 > - 微分映射 > - 微分映射 $D$ 是从函数空间到函数空间的线性算子, 将一个函数 $f(x)$ 映射到它的导数 $f'(x)$, 满足线性条件 > - 积分映射 > - 积分映射 $T$ 是将函数空间中的每一个函数映射到一个标量的线性泛函, 满足线性条件 > - $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ > - [[实函数|一元函数]] $f(x)=2x$ 是一个线性变换 > - $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$ > - [[实函数|向量函数]] $f(x,y,z)=(2x-y+3z,7x+5y-6z)$ 是一个线性变换 > - $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$, $f:\Delta \mathbf{x}\mapsto\Delta f(\mathbf{x})$ > - [[雅可比矩阵]] $J_f(\mathbf{x})$ 在数学上表示了一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的线性映射, 它将原空间中微小的向量 $\Delta \mathbf{x}$ 映射到目标空间中的向量 $\Delta f(\mathbf{x})$ 上, 表示了切线映射或局部线性变换