##### 线性方程组 - 线性方程组 - **线性方程组**是由[[线性函数|线性方程]]组成的[[方程|方程组]], 其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$​ 是变量, $a_{ij}$ 是系数, $b_1, b_2, \dots, b_m$ 是常数项, $m$ 为方程数量, $n$ 为未知数个数. 常数项 $b$ 全为 $0$ 时称为齐次线性方程组, 否则为非齐次的. 线性方程组的解是一组数, 所有可能的解的集合称为线性方程组的解集. 线性方程组可用[[线性方程组矩阵记号|矩阵记号]], 存在不同[[线性方程组等价形式|形式]], 是[[矩阵变换]]的一种实例 - $\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\... \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{matrix}\right. & \left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\... \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=0\end{matrix}\right.\\x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\cdots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{b} &x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\cdots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{0} \\ A\mathbf{x}=\mathbf{b}&A\mathbf{x}=\mathbf{0}\end{matrix}$ - 线性方程组求解 - [[线性方程组解集]] - [[高斯消元法|初等变换求解线性方程组]] - [[克莱姆法则|方阵行列式求解线性方程组]] - [[矩阵逆方法|方阵逆矩阵求解线性方程组]] - [[最小二乘解]] >[!example]- 线性方程组 > - 非齐次 > - $\begin{cases} 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 + 4x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_3 = 1 \end{cases}$, $\begin{cases} x_1 = \frac{1}{2} \\ x_2 = -\frac{1}{2} \\ x_3 = 0 \end{cases}$ > - 齐次 > - $\begin{cases} 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + 4x_3 = 0 \\ 2x_1 + 3x_3 = 0 \end{cases}$, $\begin{cases} x_1 = -\frac{3}{2}x_3 \\ x_2 = \frac{5}{2}x_3 \\ x_3 = \text{自由变量} \end{cases}$