##### 线性方程组解集 - 线性方程组解集 - **线性方程组解集**可以分为三种情况: 无解, 唯一解和无穷多解. 总的来说, [[线性方程组]]有解的充要条件是[[线性方程组矩阵记号|增广矩阵]]的[[阶梯形矩阵|简化阶梯形]]的最右列不是[[主元列]], 即没有 $\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & b\end{bmatrix}$, $b\neq0$ 这样的行, 或者等价的条件是系数矩阵和增广矩阵的[[矩阵的秩|秩]]相等, 即 ${\rm rank}A={\rm rank}\bar{A}$ - 线性方程组解集结构 - 最右列是[[主元列]], ${\rm rank}A\neq{\rm rank}\bar{A}$, 非齐次线性方程组**无解** - 非齐次线性方程组 - $\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\-5 \\1 \end{bmatrix}$ - 显然无解 - 变量都是[[主元列|基本变量]], ${\rm rank}A={\rm rank}\bar{A}=n$, 线性方程组有**唯一解**, 齐次线性方程组唯一解是零向量 - 齐次线性方程组 - $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \\0 \end{bmatrix}$ - $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 0&0&0\end{bmatrix}^T$ - 非齐次线性方程组 - $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\4 \\-1 \end{bmatrix}$ - $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1&0&-1\end{bmatrix}^T$ - 变量存在[[主元列|自由变量]], ${\rm rank}A={\rm rank}\bar{A}<n$, 线性方程组有**无穷多解**. 齐次线性方程组的解集是矩阵 $A$ 的[[零空间]], 基础解系就是零空间一组[[向量空间的基|基]]. 解集中, 零向量是平凡解, 非零向量的解是非平凡解. 非齐次线性方程组通解就是零空间加上特解 - 齐次线性方程组 - $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \\0 \end{bmatrix}$ - $\mathbf{x}=x_3\begin{bmatrix} 5&-1&1\end{bmatrix}^T=x_3\mathbf{v}$ - ${\rm Nul} A={\rm Span}\{\mathbf{v}\}$ 零空间是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\mathbf{v}$ 的直线, 也是 $\mathbf{v}$ 的[[张成空间]] - 非齐次线性方程组 - $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\4 \\0 \end{bmatrix}$ - $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1&4&0\end{bmatrix}^T+x_3\begin{bmatrix} 5&-1&1\end{bmatrix}^T=\mathbf{p}+x_3\mathbf{v}$ - 通解解集是零空间通过平移向量 $\mathbf{p}$ 得到, $\mathbf{p}$ 是特解