##### 线性泛函 - 线性泛函 [[线性泛函的矩阵|矩阵]] - **线性泛函** $\varphi$ 是[[向量空间]] $V$ 映射到[[域]] $\mathbb{F}$ 的[[线性变换]] $\varphi:V\rightarrow \mathbb{F}$, 全体线性泛函构成[[对偶空间]] $V'$, 此时也可称为对偶向量或协变向量. 线性泛函可推广为[[双线性泛函]]. 在内积空间中, [[里斯表示定理]]指出线性泛函可以通过[[内积]]来表示 $\varphi(\mathbf{u})= \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$, 关联与一个向量 $\mathbf{v}$ - $\varphi:V\rightarrow \mathbb{F}$ , 对所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$, $\alpha\in \mathbb{F}$ 满足 - $\varphi(\alpha\mathbf{u} + \alpha\mathbf{v}) = \alpha\varphi(\mathbf{u}) + \alpha\varphi(\mathbf{v})$ >[!example]- 线性泛函 >- $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $T(\mathbf{u})=3u_1+4u_2$ > - $T$ 将每个向量 $\mathbf{u}$ 映射为实数 $3u_1+4u_2$ > - $T$ 在标准基上的矩阵 $\mathbf{v}= \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix}$ > - $T(\mathbf{u}) = \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} =\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$ >- $T: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$, $T(\mathbf{u})=(2+i)u_1+(3-2i)u_2$ > - $T$ 将每个向量 $\mathbf{u}$ 映射为复数 $(2+i)u_1+(3-2i)u_2$ > - $T$ 在标准基上的矩阵 $\mathbf{v}= \begin{bmatrix} 2+i & 3-2i \end{bmatrix}$ > - $T(\mathbf{u}) = \begin{bmatrix} 2+i & 3-2i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} = \langle\mathbf{u},\overline{\mathbf{v}}\rangle$