##### 线性泛函的矩阵 - 线性泛函的矩阵 - **线性泛函的矩阵**是一个[[向量矩阵|行向量]], 具体来说, 如果[[向量空间]]的向量以列向量表示, [[线性泛函]]的矩阵表示是行向量; 如果向量空间的向量以行向量表示, 线性泛函的矩阵表示是列向量 - $\displaystyle\varphi(\mathbf{v})=\sum^{n}_{i=1}c_i{a}_i=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ - 设 $\mathbf{v}\in V$ 在基 $\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1​,\mathbf{b}_2​,\dots,\mathbf{b}_n​\}$ 下的坐标向量为 $(c_1, c_2, \dots, c_n)$, 可以写作线性组合 - $\displaystyle\mathbf{v}=\sum^{n}_{i=1}c_i\mathbf{b}_i=c_1 \mathbf{b}_1 + c_2 \mathbf{b}_2 + \dots + c_n \mathbf{b}_n$​ - 线性泛函 $\varphi:V\rightarrow \mathbb{F}$ 在基 $\mathcal{B}$ 下对 $\mathbf{v}$ 的作用可以表示为 - $\displaystyle\varphi(\mathbf{v})=\varphi(\sum^{n}_{i=1}c_i\mathbf{b}_i)=\sum^{n}_{i=1}c_i\varphi(\mathbf{b}_i)$ - 接着设 $\varphi(\mathbf{b}_i)={a}_i$, 则有 - $\displaystyle\varphi(\mathbf{v})=\sum^{n}_{i=1}c_i{a}_i$ - 最后将向量 $\mathbf{v}$ 的坐标写成列向量, 并将线性泛函分量 $a_i$​ 写成行向量 $\mathbf{u}$ - $\mathbf{v}= \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \dots & c_n \end{bmatrix}^T$ - $\mathbf{u}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix}$ - 则线性泛函 $\varphi$ 可以表示为矩阵乘法, 并且行向量 $\mathbf{u}$ 就是线性泛函 $\varphi$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的矩阵表示