##### 线性相关 - 线性相关 - **线性相关**是指[[向量组]]信息表达具有冗余, 一些多余的向量可以通过另一些向量[[线性组合|线性表示]], 而**线性无关**是指没有冗余. 严格来说线性相关是指存在不全为 $0$ 的系数 $k$ 使得[[线性方程组]] $k_1\mathbf{a_1}+k_2\mathbf{a_2}+\cdots+k_n\mathbf{a_n}=\mathbf{0}$ 成立, 即齐次线性方程组有非平凡解; 相反如果只有 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ 使得上式成立, 即齐次线性方程组只有平凡解, 那就是线性无关. 因为[[矩阵]]行列可以视为向量组, 所以线性相关与[[线性变换]]有着深刻联系, 可以从不同的角度描述, 共同体现向量组中存在冗余信息这一现象, 具有很多等价命题 - 在 $\mathbb{R}^2$ 中, 两个向量线性相关意味着其共线, 即它们位于同一条直线上 - 在 $\mathbb{R}^3$ 中, 三个向量线性相关意味着其共面, 即它们位于同一个平面上 | | 线性相关 | 线性无关 | | ----------------- | ---------------------------------------- | ------------------------------------ | | [[向量组的秩]] | ${\rm rank}A<n$ | ${\rm rank}A=n$ | | [[矩阵的秩]] | ${\rm rank}A<n$ | ${\rm rank}A=n$ | | [[线性方程组解集]] | 齐次方程组有非零解, ${\rm Nul} A\neq\{\pmb{0}\}$ | 齐次方程组只有零解, ${\rm Nul} A=\{\pmb{0}\}$ | | [[零空间]] | $\dim{\rm Nul} A=n-{\rm rank}A>0$ | $\dim{\rm Nul} A=n-{\rm rank}A=0$ | | [[行列式]] | $\|A\|=0$ | $\|A\|\neq0$ | | [[可逆矩阵]] | 方阵不可逆 | 方阵可逆 | | [[特征值和特征向量\|特征值]] | 存在零特征值 | 不存在零特征值 | | [[最小二乘解]] | 最小二乘解不唯一存在 | 最小二乘解唯一存在 | | [[最小多项式]] | 常数项为 $0$ | 常数项不为 $0$ | >[!example]- 线性相关 > - $\mathbf{a}_1 = (1, 0)$, $\mathbf{a}_2 = (0, 1)$ > - 线性无关, 因为它们不能通过任何非零标量的线性组合得到零向量, 也就是说, 只有 $c_1 = c_2 = 0$ 使得 $c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 = \mathbf{0}$ > - $\mathbf{a}_1 = (1, 2)$, $\mathbf{a}_2 = (2, 4)$ > - 线性相关, 因为它们之间存在关系 $\mathbf{a}_2 = 2 \mathbf{a}_1$, 换句话说, 第二个向量是第一个向量的倍数, 因此它们是线性相关的