##### 线性算子 - 线性算子 [[线性算子的矩阵|矩阵]] - **线性算子** $T$ 是向量空间 $V$ 映射到其自身的[[线性变换]] $T: V \to V$ , 其矩阵是方阵 $A$, 同一算子关于不同基的矩阵表示之间是[[矩阵相似]]的. 算子可以进行[[算子的幂|幂运算]]. 其[[特征值和特征向量]]揭示了在某些方向上的缩放性质, 这些方向可以张成一种[[不变子空间|不变]]的[[特征空间]], 特别的在特征向量不足为基的时候可以引入[[特征值和广义特征向量|广义特征向量]]以及[[广义特征空间]]. 算子的[[特征多项式]]编码了特征值信息, [[最小多项式]]揭示了最简代数结构. 而其[[算子的迹|迹]]和[[算子的行列式|行列式]]是所有特征值按代数重数的累加和连乘, 分别衡量了算子作用的平均效应和缩放效应 - $T: V \to V$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ - 线性算子类型 - [[恒等算子]] - [[可逆算子]] - [[幂零算子]] - [[投影算子]] - [[可交换算子]] - [[可上三角化算子]] - [[可对角化算子]] - [[可若尔当化算子]] - [[可正交对角化算子]] >[!example]- $T \in L(\mathbb{R}^2)$, $T(x,y)=(x+2y,3x+2y)$ >- $A$ 是 $T$ 关于基 $E=\{(1,0),(0,1)\}$ 的变换矩阵 > - $[T(\mathbf{e}_1)]_E=(1,3)$ > - $[T(\mathbf{e}_2)]_E=(2,2)$ > - $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ >- $B$ 是 $T$ 关于基 $B=\{(1,1),(1,0)\}$ 的变换矩阵 > - $[T(\mathbf{b}_1)]_B=(5,-2)$ > - $[T(\mathbf{b}_2)]_B=(3,-2)$ > - $B = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$ >- $P$ 是过渡矩阵 $[\mathbf{v}]_B=P_{E\to B}[\mathbf{v}]_E$ > - $[\mathbf{e}_1]_B=(0,1)$ > - $[\mathbf{e}_2]_B=(1,-1)$ > - $P_{E\to B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ > - $P_{B\to E} = P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ >- $A$ 和 $B$ 是矩阵相似的 > - $A=P^{-1}BP$ > - $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ > - $B=PAP^{-1}$ > - $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$