##### 线性算子的矩阵 - 线性算子的矩阵 - **线性算子的矩阵**是一个[[方阵]], 依赖于[[线性算子]]定义空间和目标空间的[[向量空间的基|基]], 但是二者通常用同一个基 $\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n\}$ 描述, $A$ 称为算子关于基 $\mathcal{B}$ 的矩阵. 如果没有明确, 则默认都是标准基, 那么 $A$ 就是关于标准基的矩阵, 该矩阵每个列向量是基 $\mathbf{b}_j$ 变换后 $T(\mathbf{b}_j)$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标向量 $[T(\mathbf{b}_j)]_\mathcal{B}$ . 同一算子关于不同基的矩阵表示之间是[[矩阵相似]]的 - $T: V \to V$, $\mathbf{x}\mapsto T(\mathbf{x})$, $[T(\mathbf{x})]_\mathcal{B}= A[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$ - $A=\begin{bmatrix} [T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B} & [T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B} & \cdots & [T(\mathbf{b}_n)]_\mathcal{B} \end{bmatrix}$ - $A =\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{bmatrix}$ - 设 $\mathbf{x}\in V$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标向量为 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$, 可以写作线性组合 - $\mathbf{x} = x_1 \mathbf{b}_1 + x_2 \mathbf{b}_2 + \dots + x_n \mathbf{b}_n$ - 线性算子 $T(\mathbf{x})$ 可以展开为 - $\displaystyle T(\mathbf{x}) = T ( \sum_{j=1}^{n} x_j \mathbf{b}_j )=\sum_{j=1}^{n} x_j T(\mathbf{b}_j)$, $j =1,2,\dots,n$ - 每个基向量 $\mathbf{b}_j$​ 变换后 $T(\mathbf{b}_j)$ 是 $V$ 的一个向量, 可以在基 $\mathcal{B}$ 下表示 - $T(\mathbf{b}_j)=a_{1j}\mathbf{b}_1+a_{2j}\mathbf{b}_2+\cdots+a_{nj}\mathbf{b}_n$ - 将 $T(\mathbf{b}_j)$ 的坐标形式代入, 并代入矩阵每一列, 可以写作 - $\displaystyle [T(\mathbf{x})]_{\mathcal{B}} = \sum_{j=1}^{n} x_j [T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{B}}$ - $[T(\mathbf{x})]_\mathcal{B}= A[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$ - $[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ >[!example]- $T \in L(\mathbb{R}^2)$, $T(x,y)=(x+2y,3x+2y)$ >- $A$ 是 $T$ 关于基 $E=\{(1,0),(0,1)\}$ 的变换矩阵 > - $[T(\mathbf{b}_1)]_\mathcal{B}=(1,3)$ > - $[T(\mathbf{b}_2)]_\mathcal{B}=(2,2)$ > - $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ >- $B$ 是 $T$ 关于基 $B=\{(1,1),(1,0)\}$ 的变换矩阵 > - $[T(\mathbf{b}_1)]_B=(5,-2)$ > - $[T(\mathbf{b}_2)]_B=(3,-2)$ > - $B = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$ >- $P$ 是过渡矩阵 $[\mathbf{v}]_B=P_{E\to B}[\mathbf{v}]_\mathcal{B}$ > - $[\mathbf{b}_1]_B=(0,1)$ > - $[\mathbf{b}_2]_B=(1,-1)$ > - $P_{E\to B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ > - $P_{B\to E} = P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ >- $A$ 和 $B$ 是矩阵相似的 > - $A=P^{-1}BP$ > - $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ > - $B=PAP^{-1}$ > - $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$