##### 线性组合 - 线性组合 - **线性组合**是指对给定的一[[向量组]]进行向量加法和标量乘法运算得到的新向量 $\mathbf{b}$, 即向量 $\mathbf{b}$ 可由向量组线性表示, 它们 $(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,...,\mathbf{a}_n,\mathbf{b})$ 是[[线性相关]]的, 可作为[[线性方程组等价形式]], 本质就是[[线性变换]]. 零向量 $\mathbf{0}$ 是任意向量组的线性组合. 线性变换 $T$ 保持线性组合. 线性组合可推广为[[仿射组合]], [[锥组合]], [[凸组合]] - $\displaystyle\sum^{n}_{i=1}k_i\mathbf{a}_i=k_1\mathbf{a}_1+k_2\mathbf{a}_2+\cdots+k_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}$ - $T(\displaystyle\sum^{n}_{i=1}k_i\mathbf{a}_i)=\displaystyle\sum^{n}_{i=1}k_i T(\mathbf{a}_i)$ - $T(k_1\mathbf{a}_1 + k_2\mathbf{a}_2 + \cdots + k_n\mathbf{a}_n) = k_1T(\mathbf{a}_1) + k_2T(\mathbf{a}_2) + \cdots + k_nT(\mathbf{a}_n)$ >[!example]- 线性组合 > - $\mathbf{k_1} = (1, 2)$, $\mathbf{k_2} = (3, 4)$ > - $2\mathbf{k_1} - \mathbf{k_2} = (-1, 0)$ > - $\mathbf{k_1} = (1, 2)$, $\mathbf{k_2} = (2, 4)$ > - $2\mathbf{k_1} + \mathbf{k_2} = (4, 8)$ > - $\mathbf{a}_1 = (1, 0, 0)$, $\mathbf{a}_2 = (0, 1, 0)$, $\mathbf{a}_3 = (0, 0, 1)$ > - $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3=(1,1,1)$ > - $\mathbf{a}_1 = (1, 2, 3)$, $\mathbf{a}_2 = (2, 4, 6)$, $\mathbf{a}_3 = (-1, 1, 0)$ > - $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3=(2,7,9)$