##### 置换 - 置换 - **置换**是从[[有限集]]到自身的一个[[双射]], 表示将集合 $n$ 个元素重新[[排列]]的方法. 有两种特殊的置换, 称为[[循环置换]]和[[对换置换]]. 置换可以[[置换复合|复合]], 即将两个置换的作用按顺序组合在一起, 从而得到一个新的置换. 置换具有[[奇偶置换|奇偶性]]. 所有 $n$ 个元素的置换组成[[对称群]], 所有偶置换组成[[交错群]]. 每个置换都对应着唯一的一个[[置换矩阵]] - $\sigma: \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\}$ - $\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\cdots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}$ - $\displaystyle \sigma =\sigma (x_{1})\;\sigma (x_{2})\;\sigma (x_{3})\;\cdots \;\sigma (x_{n})$ >[!example]- 置换 > - 集合 $S = \{1,2,3\}$ 的一种置换是 > - $\sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ > - 表示 $1 \to 3, 2 \to 1, 3 \to 2$