##### 置换复合 - 置换复合 - **置换复合**是[[置换]]的[[复合映射]], 是指将两个置换的作用组合在一起, 从而得到一个新的置换. 设 $\sigma$ 和 $\tau$ 是两个置换, 置换复合表示为 $\sigma \circ \tau$, 先应用置换 $\tau$, 然后应用置换 $\sigma$, 即如果置换 $\tau$ 将元素 $x$ 映射到 $\tau(x)$, 那么复合置换 $\sigma \circ \tau$ 将元素 $x$ 映射到 $\sigma(\tau(x))$ - [[结合律]], 置换复合满足结合律, 即对于任意的置换 $\sigma, \tau, \rho$ 有 $(\sigma \circ \tau) \circ \rho = \sigma \circ (\tau \circ \rho)$ 这意味着复合置换的顺序可以任意调整 - [[单位元|恒等置换]], 对于任何置换 $\sigma$, 都有 $\sigma \circ e = e \circ \sigma = \sigma$ 其中 $e$ 是恒等置换, 即不改变任何元素 - [[逆元|逆置换]], 每个置换 $\sigma$ 都有一个逆置换 $\sigma^{-1}$ 使得 $\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = e$ 逆置换 $\sigma^{-1}$ 是与 $\sigma$ 配对的置换, 使得 $\sigma$ 和 $\sigma^{-1}$ 的复合结果是恒等置换