##### 置换矩阵 - 置换矩阵 - **置换矩阵**是重新排列[[单位矩阵]]行或列得到的[[矩阵]], 或者等价表述, 给定一个[[置换]] $\sigma\in S_n$​, 其对应的置换矩阵 $P_\sigma$​ 是一个只含 $0$ 和 $1$ 的矩阵, 通过[[矩阵乘法]]表示向量行或列的置换规则, 多个连续乘法就是[[置换复合]] $P_\tau \cdot P_\sigma = P_{\tau \circ \sigma}$. 置换矩阵是[[正交矩阵]], 并且[[行列式]]为 $\pm1$, 对应置换的[[奇偶置换|奇偶性]], 偶正奇负. 所有 $n \times n$ 的置换矩阵在矩阵乘法下构成一个群, 同构于[[对称群]] $S_n$ - 左乘行置换 $P_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{如果 } j = \sigma(i) \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$ - 右乘列置换 $P_{ji} = \begin{cases} 1, & \text{如果 } j = \sigma(i) \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$ >[!example]- 置换矩阵 > - 行置换 $(1\ 2\ 3)$, 将 $1\rightarrow2,2\rightarrow3,3\rightarrow1$ > - 置换矩阵 $\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_2\\x_3\\x_1\end{bmatrix}$ > - 列置换 $(1\ 3\ 2)$, 将 $1\rightarrow3,3\rightarrow2,2\rightarrow1$ > - 置换矩阵 $\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_3&x_1&x_2\end{bmatrix}$