##### 群 - 群 - **群**是配有一个[[运算|二元运算]]的[[代数结构]] $(G,\cdot)$. 群元素数量称为群的阶. 群的子集称为[[子群]], 群的商集称为[[商群]]. 群可以通过[[群的生成集|生成集]]描述, 可以划分为[[共轭类]]. 还有[[群同态]], [[群作用]]和[[群表示]]等概念 - $(G,\cdot)$ 是一个群, 满足[[结合律]], [[单位元]], [[逆元]] - 群类 - [[半群]] - [[幺半群]] - [[有限群]] - [[无限群]] - [[单群]] - [[交换群]] - [[循环群]] - [[对称群]] - [[可解群]] - [[李群]] >[!example]- 群 >- 整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ > - 集合, $\mathbb{Z}=\{\dots,−2,−1,0,1,2,\dots\}$ > - 运算, 普通加法 $+$ > - 封闭性, 任意两个整数相加仍是整数 $\forall a,b \in\mathbb{Z},a+b\in\mathbb{Z}$ > - 结合律, $(a+b)+c=a+(b+c)$ 对任意整数成立 > - 单位元, $0$ 是单位元, 因为 $a+0=0+a=a$ > - 逆元, 任意 $a\in\mathbb{Z}$ 的逆元是 $−a$，因为 $a+(-a)=0$ > - 性质, 交换群, 无限群, 循环群 >- 模 $n$ 加法群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ > - 集合 $G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ 0, 1, 2, \ldots, n-1 \}$, 模 $n$ 的剩余类 > - 运算, 模 $n$ 加法, 例如在 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$ 中, $2 + 3 = 5 \equiv 1 \pmod{4}$ > - 封闭性, 任意两个剩余类相加仍是剩余类 $\forall a,b \in G,a+b\in G$ > - 结合律, $(a+b)+c=a+(b+c)$ 对任意剩余类成立 > - 单位元, $0$ 是单位元, 因为 $a + 0 \equiv a \pmod{n}$ > - 逆元, 任意 $a\in G$ 的逆元是 $n−a$，因为 $a + (n - a) = n \equiv 0 \pmod{n}$ > - 性质, 交换群, 有限群, 循环群 >- 对称群 $S_n$ > - 集合 $G = S_n$, 即 $\{1,2,\dots,n\}$ 上所有置换的集合 > - 运算, 置换复合 $\circ$, 即先应用一个置换, 再应用另一个置换 > - 封闭性, 任意两个置换复合仍是置换 $\forall a,b \in G,a\circ b\in G$ > - 结合律, $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ 对任意置换成立 > - 单位元, 恒等置换 $e$ 是单位元, 因为将每个元素映射到自身 > - 逆元, 任意置换 $a\in G$ 的逆元是逆置换 $a^{-1}$，因为 $a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ =e$ > - 性质, 非交换群, 有限群, 非循环群