##### 群同态 - 群同态 - **群同态**指[[群]]的[[同态]], 它保持了群运算的结构, 即映射后的元素与原群元素进行运算时的关系与原群相同. 设 $(G, \cdot)$ 和 $(H, \cdot)$ 是两个群, $\varphi: G \to H$ 是一个映射, 如果对任意 $a, b \in G$, 有 $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$, 那么 $\varphi$ 就是一个群同态, 并且核是 $G$ 中所有映射到 $H$ 的单位元的元素集合, 也是[[正规子群]], 像是 $H$ 中所有由 $G$ 的元素通过 $\varphi$ 映射得到的元素集合, 也是[[子群]]. 同样有群同构等, 有[[群同构基本定理]], [[凯莱定理]] - $\varphi: G \to H$ - $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$, $\forall a, b \in G$ - 核 $\ker(\varphi) = \{ g \in G \mid \varphi(g) = e_H \}$ - 像 $\text{im}(\varphi) = \{ h \in H \mid \exists g \in G, \varphi(g) = h \}$