##### 群同构基本定理 - 群同构基本定理 - **群同构基本定理**是在[[群同态]]下连接[[群]], [[商群]]和[[正规子群]]的基本工具, 可以看作是研究群结构如何分解和重组的法则. 设 $(G, \cdot)$ 和 $(H, \circ)$ 是群, $\varphi: G \to H$ 是群同态 - 群同构第一定理, 同态的核 $\ker(\varphi) \subseteq G$ 是[[正规子群]], 像 $\text{Im}(\varphi) \subseteq H$ 是[[子群]], 并且同态的像与[[商群]] $G / \ker(\varphi)$ 是同构的 - $G / \ker(\varphi) \cong \operatorname{Im}(\varphi)$ - 群同构第二定理, 设 $H \subseteq G$ 是[[子群]], $N \subseteq G$ 是[[正规子群]], 则 $H \cap N$ 是 $H$ 的正规子群, $HN = \{ hn \mid h \in H, n \in N \}$ 是 $G$ 的子群, 并且有同构 - $H / (H \cap N) \cong HN / N$ - 群同构第三定理, 设 $N \subseteq K \subseteq G$ 都是[[正规子群]], 则 $K/N$ 是 $G/N$ 的正规子群, 并且有同构 - $(G / N) / (H / N) \cong G / H$