##### 群的生成集 - 群的生成集 - **群的生成集**通过最少的元素和群运算来完全描述一个[[群]]的结构. 设群 $G$ 及子集 $S \subseteq G$, 如果 $G$ 的所有元素都可以表示为 $S$ 中元素的有限重复运算及其逆元 $G = \langle S \rangle$, 则称 $S$ 是 $G$ 的一个生成集. 一个群可能有多个生成集, 但其中元素最少的生成集称为最小生成集. 如果只需一个元素生成整个群, 则称为[[循环群]]. 如果元素有限, 则称为有限生成群 - $G = \langle S \rangle := \{ s_1^{\varepsilon_1} s_2^{\varepsilon_2} \cdots s_k^{\varepsilon_k} \mid s_i \in S,\, \varepsilon_i \in \{\pm1\},\, k \in \mathbb{N} \}$