##### 自伴算子 - 自伴算子 [[自伴算子的矩阵|矩阵]] - **自伴算子** $T$ 是定义在[[内积空间]] $V$ 上的[[线性算子]], 满足与自身[[伴随映射]]相等 $T=T^∗$ , 即对所有 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$ 都有 $\langle T(\mathbf{u}),\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{u},T(\mathbf{v})\rangle$. 自伴算子的[[特征值和特征向量|特征值]]都是实数, 自伴算子是零映射 $T=0$ 当且仅当 $\langle T \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle=0$, 自伴算子也是[[正规算子]], [[谱定理|实谱定理]]说明实数自伴算子是可正交对角化的 - $T:V\rightarrow V$, $T=T^∗$ >[!example]- 自伴算子 >- 自伴算子 > - $\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=1$, $\mathbf{v}_1=(-1,1)$ > - $\lambda_2=3$, $\mathbf{v}_2=(1,1)$