##### 自然常数 - 自然常数 - **自然常数** $e$ 是[[无理数]]常数, 是[[超越数]], 是一个无限不循环小数, 数值约是 $2.71828\cdots$, 表示复利增长的极限, 可以定义于[[数列极限]]和[[序列级数]], 有许多的函数都和 $e$ 有关, 例如[[对数函数|自然对数函数]] $\ln x$ [[指数函数|自然指数函数]] $e^x$ - $\displaystyle e=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ - $\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$ >[!example]- 自然常数 > - $\displaystyle e=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ > - 年利率为 $r$, 一年计 $n$ 次复利, $t$ 年后, 本金为 $A$ 的财富 > - $\displaystyle y=A(1+\frac{r}{n})^{nt}$ > - 时间为 $1$ 年, 本金为 $1$ , 当计次 $n$ 趋向无穷大时, 每时每刻计算复利时, 利率极限为 $e^r$ > - $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^n=e^r$ > - 年利率 $r=1$ 时, 利率极限为 $e$ > - $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$ > - $\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$ > - 指数函数 $e^x$ 的泰勒级数 > - $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ > - 当 $x = 1$ 时, 得到自然常数 $e$ 的级数表示 > - $\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$