##### 自然数运算 - 自然数运算 - **自然数运算**是[[自然数]]的[[运算]], 基于[[皮亚诺公理]]和[[递归]]定义, 主要包括[[加法]], [[乘法]], [[阶乘]], [[指数运算]] - 加法 - 设 $a,b\in\mathbb{N}$, 定义 $a+0=a$, $a+S(b)=S(a+b)$, 加法是一系列后继 - [[交换律]], [[结合律]], [[单位元]] - 乘法 - 设 $a,b\in\mathbb{N}$, 定义 $a\times0=0$, $a\times S(b)=a \times b+a$, 乘法是一系列加法 - [[交换律]], [[结合律]], [[分配律]], [[单位元]] - 指数运算 - 设 $a,n\in\mathbb{N}$, 定义 $a^0=1$, $a^{S(n)}=a^n\times a$, 指数运算是一系列乘法 - [[指数律]] - 阶乘 - 设 $a\in\mathbb{N}$, 定义 $0!=1$, $S(a)!=a!\times S(a)$, 阶乘运算是一系列后继乘法 >[!example]- 自然数运算 > - $2+3=2+S(2)=S(2+2)=S(2+S(1))=S(S(3))=5$ > - $2\times3=2\times S(2)=2\times2+2=2\times1+2+2=2\times0+2+2+2=6$ > - $2^3=2^{S(2)}=2^2\times2=2^1\times2\times2=2^0\times2\times2\times2=8$ > - $3!=2!\times S(2)=1!\times S(1)\times S(2)=1\times 1\times 2\times 3=6$