##### 自身关系性质 - 自身关系性质 - **自反性**, **对称性**和**传递性**是[[自身关系]]的主要性质. 在一个集合中, 自反关系是指每个元素都和自己有关系 $a\ R\ a$ , 对称关系是指每对元素关系都是双向的 $a\ R\ b$ 和 $b\ R\ a$, 传递关系是指每对元素关系可以通过中间元素建立 $a\ R\ b$ 和 $b\ R\ c$ 则 $a\ R\ c$. 下面以集合 $A=\{a,b,c\}$ 为例 - 自反性 - 若 $\forall a((a,a)\in R)$, 则 $A$ 的自身关系 $R$ 是**自反的**, 即对所有的 $a$ 有 $(a,a)$ - $R=\{(a,a),(b,b),(b,c),(c,c)\}$ - 若 $\forall a((a,a)\notin R)$, 则 $A$ 的自身关系 $R$ 是**反自反的**, 即对所有的 $a$ 都没有 $(a,a)$ - $R=\{(a,b)\}$ - 既不是自反的, 也不是反自反的 - $R=\{(a,a),(a,b)\}$ - 对称性 - 若 $\forall a\forall b((a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R)$, 则 $A$ 的自身关系 $R$ 是**对称的**, 即如果有 $(a,b)$ 就有 $(b,a)$ - $R=\{(a,a),(b,b),(b,c),(c,b)\}$ - 若 $\forall a\forall b(((a,b)\in R\land (b,a)\in R)\rightarrow (a=b))$, 则 $A$ 的自身关系 $R$ 是**反对称的**, 即如果有 $(a,b)$ 和 $(b,a)$ 就有 $a=b$, 即不存在 $aRb$, $bRa$ 且 $a\neq b$ - $R=\{(a,b),(c,a)\}$ - 既是对称的, 也是反对称的 - $R=\{(a,a),(b,b)\}$ - 既不是对称的, 也不是反对称的 - $R=\{(a,b),(b,a),(a,c)\}$ - 传递性 - 若 $\forall{a}\forall{b}\forall{c}(((a,b)\in{R}\land(b,c)\in{R})\rightarrow(a,c)\in{R})$, 则 $A$ 的自身关系 $R$ 是**传递的**, 即如果有 $(a,b)$ 和 $(b,c)$ 就有 $(a,c)$ - $R=\{(a,b),(b,c),(a,c)\}$ - $R=\{(a,a),(b,b)\}$ - 若 $\forall{a}\forall{b}\forall{c}(((a,b)\in{R}\land(b,c)\in{R})\rightarrow\neg(a,c)\in{R})$, 则 $A$ 的自身关系 $R$ 是**反传递的**, 即如果有 $(a,b)$ 和 $(b,c)$ 就没有 $(a,c)$ - $R=\{(a,b),(b,c)\}$