##### 范数 - 范数 - **范数**是定义在[[向量空间]] $V$ 上的一个[[映射]] $\|\cdot\|: V \to \mathbb{R}$, 为空间内的所有[[向量]]赋予长度或大小, 使其成为[[赋范向量空间]], 范数可以自然地诱导出[[度量]]. 特别的有[[矩阵范数]]和[[算子范数]]. 范数对于 $\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$, $a\in\mathbb{F}$ 满足以下三个性质 - 非负性, $\|\mathbf{v}\| \geq 0$, 且 $\|\mathbf{v}\| = 0 \text{ 当且仅当 } \mathbf{v} = \mathbf{0}$ - 齐次性, $\|a \mathbf{v}\| = |a| \|\mathbf{v}\|$ - 三角不等式, $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$ - [[内积|内积范数]] - $||\mathbf{a}||=\sqrt{\langle\mathbf{a},\mathbf{a}\rangle}$ - [[可和序列空间|可和序列范数]] - $\displaystyle \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^p \right)^{1/p}$ - $\displaystyle \|x\|_1 = \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|$ - $\displaystyle \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2}$ - $\displaystyle \|x\|_\infty = \sup_{n \in \mathbb{N}} |x_n|$ - [[可积函数空间|可积函数范数]] - $\displaystyle\|f\|_p = \left( \int_X |f(x)|^p \text{d}\mu(x) \right)^{1/p}$ - $\displaystyle\|f\|_1 = \int_X |f(x)| \text{d}\mu(x)$ - $\displaystyle\|f\|_2 = \sqrt{ \int_X |f(x)|^2 \text{d}\mu(x) }$ - $\displaystyle \|f\|_\infty = \text{ess} \sup_{x \in X} |f(x)|$ >[!example]- 内积范数 >- 柯西-施瓦茨不等式 > - ${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}$ >- 平行四边形定律 > - ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$ >- 极化恒等式 > - ${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\text{Re} \langle x,y\rangle }$ >- 托勒密不等式 > - ${\displaystyle \|x-y\|\|z\|+\|y-z\|\|x\|\geq \|x-z\|\|y\|}$ >- 勾股定理 > - $\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}$ >- 贝塞尔不等式 > - $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |\langle x, e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2$ >- 帕塞瓦尔恒等式 > - $\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |\langle x, e_n \rangle|^2$