##### 范数 - 范数 - **范数**(长度)是定义在[[向量空间]] $V$ 上的一个[[映射]], 其为向量空间内的所有[[向量]]赋予长度或大小, 带有范数的向量空间为[[赋范向量空间]] - $f:V\to \mathbb{R}$, $x_1,x_2\in V$, $\alpha\in\mathbb{F}$ - $f(x_1)\geq 0$ - $f(\alpha x_1)=|\alpha|f(x_1)$ - $f(x_1+x_2)\leq f(x_1)+f(x_2)$ - [[内积|内积范数]] - $||\mathbf{a}||=\sqrt{\langle\mathbf{a},\mathbf{a}\rangle}$ - $\ell^p$ [[可和序列空间|范数]] - $\displaystyle \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^p \right)^{1/p}$ - $\|x\|_1 = |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|$ - $\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$ - $\|x\|_\infty = \max \{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|\}$ - $L^p$ [[可积函数空间|范数]] - $\displaystyle\|f\|_p = \left( \int_X |f(x)|^p \text{d}\mu(x) \right)^{1/p}$ - 算子范数 - [[矩阵范数]] >[!example]- 内积范数 >- 范数齐次 > - ${\displaystyle \|ax\|=|a|\|x\|}$ >- 三角不等式 > - ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$ >- 柯西-施瓦茨不等式 > - ${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}$ >- 平行四边形定律 > - ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$ >- 极化恒等式 > - ${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\text{Re} \langle x,y\rangle }$ >- 托勒密不等式 > - ${\displaystyle \|x-y\|\|z\|+\|y-z\|\|x\|\geq \|x-z\|\|y\|}$ >- 勾股定理 > - $\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}$ >- 贝塞尔不等式 > - $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |\langle x, e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2$ >- 帕塞瓦尔恒等式 > - $\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |\langle x, e_n \rangle|^2$