##### 行列式的几何意义 - 行列式的几何意义 - **行列式的几何意义**指[[行列式]]代表[[线性算子]]作用下空间的有向缩放比例. 对于 $\mathbb{R}^2$ 上的线性变换, 行列式的绝对值可以理解为面积的缩放因子, 符号表示了变换的方向是保持还是反向. 对于 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换, 行列式的绝对值可以理解为体积的缩放因子, 符号表示了变换的方向是保持还是反向. 设 $\mathbb{R}^n$ 中由基 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$ 张成的平行多面体, 体积标准化设为 $1$, 线性算子 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ 将此立方体映射为由 $T(\mathbf{e}_1) = \mathbf{a}_1, T(\mathbf{e}_2) = \mathbf{a}_2, \dots, T(\mathbf{e}_n) = \mathbf{a}_n$ 张成的平行多面体, 其中 $\mathbf{a}_i$ 是矩阵 $A$ 的列向量, 则新平行多面体体积的缩放比例由行列式给出 - $\text{有向缩放比例} = \det(A)$ >[!example]- 行列式的几何意义 > - $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ > - $A=\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$, $|A|=11$, 面积放大了 $11$ 倍 > - $\mathbf{u}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{u}'=A\mathbf{u}=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ > - $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v}'=A\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ > - ![[opentext_数学_行列式几何意义.png|400]]