##### 行列式的子式 - 行列式的子式 - **行列式的子式**包括子式和余子式, 指从[[行列式]]中选取或去除一些元素组成新的行列式. 在⼀个 $n$ 阶行列式 $D$ 中任意选定 $k$ ⾏ $k$ 列 $(k\leq n)$ - 位于这些行与列的交点上的 $k^2$ 个元素按原来的次序组成的一个 $k$ 阶行列式 $M$, 称为行列式 $D$ 的一个 $k$ 阶**子式** - $k=1$, 只选 $1$ 行 $1$ 列, 子式选择第 $i$ 行与第 $j$ 列, 只有一个数 $d_{ij}$ - 在 $D$ 中划去这 $k$ 行 $k$ 列后, 余下的元素按原来的次序组成的 $n-k$ 阶行列式 $M'$, 称为 $k$ 阶⼦式 $M$ 的**余子式**. 行列索引为$i,j$, 则称 $(-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)+(j_1+j_2+...+j_k)}M'$ 为 $M$ 的**代数余子式** - $k=1$, 只选 $1$ 行 $1$ 列, 余子式划去第 $i$ 行与第 $j$ 列, 留下来 $n-1$ 阶行列式, 称为 $d_{ij}$ 的余子式, 记为 $M'_{ij}$. 称 $(-1)^{i+j}M'_{ij}$ 为 $d_{ij}$ 的代数余子式, 记为 $A_{ij}$ >[!example]- 子式 > - $|A|=\begin{vmatrix}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{vmatrix}$ 选择第 $2$ 行第 $3$ 列 > - 子式 > - $d_{23}=\begin{vmatrix}7\end{vmatrix}=7$ > - 余子式 > - $M_{23}=\begin{vmatrix}1&2\\9&10\end{vmatrix}=-8$ > - 代数余子式 > - $A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=-8$