##### 行列式的定义 - 行列式的定义 - **行列式的定义**主要包括[[行列式]]的排列定义和递归定义, 递归定义基于[[行列式的子式|代数余子式]], 排列定义基于[[逆序对]], 本质上源于[[算子的行列式|行列式]]的多重线性性和交错性 - $\displaystyle\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}= \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdot \dots \cdot a_{n\sigma(n)}$ - $S_n$​ 是所有 $n!$ 个全排列的集合 - $\sigma\in S_n$ 是一个排列, $\sigma(i)$ 表示排列 $\sigma$ 中第 $i$ 个元素的值 - $a_{i, \sigma(i)}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行, 第 $\sigma(i)$ 列的元素 - $\prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$ 表示选择矩阵元素 $a_{i, \sigma(i)}$ 然后计算乘积 - $\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}$ 是排列符号 - 概括来说是所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的和 - $\displaystyle\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$ - $M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后所得的子矩阵的行列式 - 定义可以一直递归到 $2 \times 2$ 或 $1 \times 1$ 的情况 >[!example]- $3$ 阶行列式 > - $S_3$​ 是所有 $3!$ 个全排列的集合 > - 阶数 $3$ 的全排列就是 $123,132,213,231,312,321$ > - 使用全排列决定每一个求和项 $\prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$ 中的列号 $\sigma(i)$ > - $a_{11}a_{22}a_{33}$ > - $a_{11}a_{23}a_{32}$ > - $a_{12}a_{21}a_{33}$ > - $a_{12}a_{23}a_{31}$ > - $a_{13}a_{21}a_{32}$ > - $a_{13}a_{22}a_{31}$ > - 全排列的逆序数决定每一求和项的正负 $\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}$ , 从小到大的顺序, 偶正奇负 > - $\tau(123)=0$ 正 > - $\tau(132)=1$ 负 > - $\tau(213)=1$ 负 > - $\tau(231)=2$ 正 > - $\tau(312)=2$ 正 > - $\tau(321)=3$ 负 > - 所以 $3$ 阶行列式为 > - $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$