##### 行列式的展开 - 行列式的展开 - **行列式的展开**是指[[行列式]]可按任意行或列的[[行列式的子式|代数余子式]]展开计算 - $|D|=\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ - 按行展开, 行列式等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和 - $|D|=a_{k1}A_{k1}+a_{k2}A_{k2}+...+a_{kn}A_{kn}$, $k=1,2,...,n$ - 按列展开, 行列式等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和 - $|D|=a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+...+a_{nk}A_{nk}$, $k=1,2,...,n$ - 拉普拉斯展开式, 设 $A, B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵, $O$ 为[[零矩阵]] $*$ 为任意矩阵 - $\displaystyle\begin{vmatrix}A &* \\O&B\end{vmatrix}=\displaystyle\begin{vmatrix}A &O \\ * &B\end{vmatrix}=|A||B|$ - $\displaystyle\begin{vmatrix}O &A \\B& * \end{vmatrix}=\displaystyle\begin{vmatrix}* &A \\B &O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|$