##### 行列式的性质 - 行列式的性质 - **行列式的性质**是关于[[行列式]]的一些恒等式, 本质上源于[[算子的行列式|行列式]]的多重线性性和交错性 - 多重线性性, 行列式按某一行或列可拆成两个行列式相加减 - $\det(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v} + \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n) = \det(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{a}_n) + \det(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n)$ - $\det(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v} - \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n) = \det(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{a}_n) - \det(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n)$ - 多重线性性, 矩阵[[初等变换|倍乘变换]], 行列式倍乘 - $|A|\xrightarrow{倍乘变换}k|A|$ - 多重线性性, 矩阵[[初等变换|倍加变换]], 行列式不变 - $|A|\xrightarrow{倍加变换}|A|$ - 交错性, 矩阵[[初等变换|对换变换]], 行列式取反 - $|A|\xrightarrow{对换变换}-|A|$ - 交错性, 矩阵两行或列[[线性相关]], 行列式为 $0$ - $|A|=0$ - 转置不变性 - $|A^T|=|A|$ - 矩阵乘法分配性 - $|AB|=|A||B|$ - 特征值, 行列式等于矩阵[[特征值和特征向量|特征值]]的乘积 - $|A|=\prod^{n}_{i=1}\lambda_i$