##### 辛双线性型 - 辛双线性型 [[辛双线性型的矩阵|矩阵]] - **辛双线性型**是定义在相同[[向量空间]]上的[[双线性型]] $\omega:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$, 额外满足交错性和非退化性, 使其成为辛向量空间. 辛双线性型只存在于偶数维向量空间, 因为反对称矩阵在奇数维时行列式为零, 必然退化, 而非退化性要求可逆 - $\omega:V\times V\rightarrow\mathbb{F}$ , 对所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$, $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ 满足 - 双线性性 $\omega(\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}^TA\mathbf{v}$ - $\omega(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}, \mathbf{w}) = \alpha \omega(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + \beta \omega(\mathbf{v}, \mathbf{w})$ - $\omega(\mathbf{u}, \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}) = \alpha \omega(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + \beta \omega(\mathbf{u}, \mathbf{w})$ - 交错性 $A=-A^T$ - $\omega(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = -\omega(\mathbf{v}, \mathbf{u})$, $\omega(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 0$ - 非退化性 $\det A \neq 0$ - 若 $\omega(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0$ 对于所有 $\mathbf{v} \in V$, 则 $\mathbf{u} = 0$