##### 连续函数 - 连续函数 - **连续函数**是指[[实函数]]的变化满足平滑性和无间断性, 包括一点连续, [[区间连续]]和[[一致连续]]等, 一点连续可描述为该点[[函数极限]]等于函数值, 不连续的点称为[[函数间断点]]. [[初等函数]]都是连续函数. 连续函数可推广为[[连续映射]] - 设实函数 $f(x)$ 定义域为 $D_f\in\mathbb{R}$, 且 $x_0$ 是 $D_f$ 的一个极限点, 对于任选的函数增量 $\varepsilon>0$, 存在一个自变量增量 $\delta>0$, 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, 恒有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, 则称函数在 $x_0$​ 处是连续的. 以极限表达式的形式叙述就是 $\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=0$ 或者 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$, 即一点函数极限等于函数值 - 设多元函数 $f(\mathbf{x})$ 定义域为 $D_f\in\mathbb{R}^n$, 且 $\mathbf{x}_0$ 是 $D_f$ 的一个极限点, 对于任选的函数增量 $\varepsilon>0$, 存在一个自变量增量 $\delta>0$, 使得当 $0<||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||<\delta$ 时, 恒有 $|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{x}_0)|<\varepsilon$, 则称函数在 $\mathbf{x}_0$​ 处是连续的. 以极限表达式的形式叙述就是如果 $f(\mathbf{x})$ 在点 $\mathbf{x}_0$ 某邻域多元函数极限等于函数值 $\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\rightarrow \mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}_0)$, 则称其在点 $\mathbf{x}_0$ 处连续 - 设向量函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$, $\mathbf{x}\in D_f\subseteq\mathbb{R}^n$, $\mathbf{r}\in\mathbb{R}^m$, 且 $\mathbf{x}_0$ 是 $D_f$ 的一个极限点, 若对于任选的函数增量 $\varepsilon>0$, 存在一个自变量增量 $\delta>0$, 使得当 $0<||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||<\delta$ 时, 恒有 $||\mathbf{f}(\mathbf{x}) -\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)||<\varepsilon$, 则称 $\mathbf{f}$ 在 $\mathbf{x}_0$ 处连续. 以极限表达式的形式叙述就是 $\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0}\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)$, 即 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 在点 $\mathbf{x}_0$ 向量函数极限等于函数值