##### 连续映射 - 连续映射 - **连续映射**是[[度量空间]]或[[拓扑空间]]中的[[映射]], 满足[[开集]]的原像是开集, 也就是说不会把近的点映射成远的点, 是对[[连续函数]]的推广, 用于描述定义域和值域之间变化的平滑性和一致性, 连续映射保持[[连续映射保持紧致|紧致]]与[[连续映射保持连通|连通]], 双射连续则为[[同胚]]保持拓扑 - 设 $(X,d_1)$, $(Y,d_2)$ 均为度量空间, $A\subseteq X$, $f:A\to Y$为映射. 设 $a_0\in A$, 如果任给 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$, 当 $a\in A$ 且 $d_1(a,a_0)<\delta$ 时, $d_2(f(a),f(a_0)<\varepsilon$, 则称 $f$ 在 $a_0$ 处连续. 如果 $f$ 处处连续，则称 $f$ 为连续映射 - 设 $X$, $Y$ 均为拓扑空间, 映射 $f:X\to Y$ 是连续的, 如果对于 $Y$ 中的每一个开子集 $V$ , 代入逆映射 $f^{-1}(V)$ 也是 $X$ 中的一个开子集