##### 重积分变量替换 - 二重积分的变量替换 - [[实函数|多元向量函数]] $\left\{\begin{matrix} x=g(u,v) \\ y=h(u,v) \end{matrix}\right.$ 可以把 $xy$ 平面区域的积分变换成 $uv$ 平面区域的积分 - 若 $g,h,f$ 偏导数连续并且 $\mathbf{J}(u,v)$ 仅在弧立点上是 $0$, 那么 $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y=\iint_Gf(g(u,v),h(u,v))\mid \mathbf{J}(u,v) \mid {\rm d}u{\rm d}v$ , 其中 $\mid\mathbf{J}(u,v)\mid$ 为向量函数[[雅可比矩阵|雅可比行列式]], 此行列式近似表示从区域 $D$ 到区域 $G$ 的面积变化程度 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y=\iint_Gf(g(u,v),h(u,v))\mid \mathbf{J}(u,v) \mid {\rm d}u{\rm d}v$ - $\displaystyle\mathbf{J}(u,v)=\begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{u}}&\frac{\partial{x}}{\partial{v}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}&\frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{vmatrix}=\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}-\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right|$ - $\displaystyle {\rm d}A = {\rm d}x {\rm d}y = \mid\mathbf{J}(u,v)\mid{\rm d}u {\rm d}v \nonumber$ - 三重积分的变量替换 - [[实函数|多元向量函数]] $\left\{\begin{matrix} x=g(u,v,w) \\ y=h(u,v,w)\\ z=k(u,v,w) \end{matrix}\right.$ 可以把 $xyz$ 空间区域的积分变换成 $uvw$ 空间区域的积分 - 若 $g,h,k,f$ 偏导数连续并且 $\mathbf{J}(u,v,w)$ 仅在弧立点上是 $0$, 那么 $\displaystyle\iint_Df(x,y,z){\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z=\iint_Gf(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))\mid \mathbf{J}(u,v,w) \mid {\rm d}u{\rm d}v{\rm d}w$ , 其中 $\mid\mathbf{J}(u,v,w)\mid$ 为向量函数[[雅可比矩阵|雅可比行列式]], 此行列式近似表示从区域 $D$ 到区域 $G$ 的体积变化程度 - $\displaystyle\iint_Df(x,y,z){\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z=\iint_Gf(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))\mid \mathbf{J}(u,v,w) \mid {\rm d}u{\rm d}v{\rm d}w$ - $\displaystyle\mathbf{J}(u,v,w)= \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{u}}&\frac{\partial{x}}{\partial{v}}&\frac{\partial{x}}{\partial{w}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}&\frac{\partial{y}}{\partial{v}}&\frac{\partial{y}}{\partial{w}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{u}}&\frac{\partial{z}}{\partial{v}}&\frac{\partial{z}}{\partial{w}}\end{vmatrix} = \left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right|$ - $\displaystyle {\rm d}V = {\rm d}x {\rm d}y{\rm d}z = \mid\mathbf{J}(u,v,w)\mid{\rm d}u {\rm d}v {\rm d}w \nonumber$