##### 重积分换元法 - 重积分换元法 - **重积分换元法**是[[重积分]]的[[换元积分法]], 使用[[实函数|向量函数]]进行换元, 通过[[雅可比矩阵|雅可比行列式]]衡量空间缩放比例, 常用于[[坐标系]]变换. 可以把 $xy$ 平面区域的积分变换成 $uv$ 平面区域的积分. 若 $g,h,f$ 偏导数连续并且 $\mathbf{J}(u,v)$ 仅在弧立点上是 $0$, 那么可以换元, 其中 $\mid\mathbf{J}(u,v)\mid$ 为向量函数雅可比行列式, 此行列式近似表示从区域 $D$ 到区域 $G$ 的面积变化程度 可以把 $xyz$ 空间区域的积分变换成 $uvw$ 空间区域的积分. 若 $g,h,k,f$ 偏导数连续并且 $\mathbf{J}(u,v,w)$ 仅在弧立点上是 $0$, 那么可以换元, 其中 $\mid\mathbf{J}(u,v,w)\mid$ 为雅可比行列式, 此行列式近似表示从区域 $D$ 到区域 $G$ 的体积变化程度 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y$ $\left\{\begin{matrix} x=g(u,v) \\ y=h(u,v) \end{matrix}\right.$ - $\displaystyle \iint_Gf(g(u,v),h(u,v))\mid \mathbf{J}(u,v) \mid {\rm d}u{\rm d}v$ - $\displaystyle\mathbf{J}(u,v)=\begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{u}}&\frac{\partial{x}}{\partial{v}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}&\frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{vmatrix}=\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}-\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}}=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right|$ - $\displaystyle {\rm d}A = {\rm d}x {\rm d}y = \mid\mathbf{J}(u,v)\mid{\rm d}u {\rm d}v \nonumber$ - $\displaystyle\iint_Df(x,y,z){\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z$ $\left\{\begin{matrix} x=g(u,v,w) \\ y=h(u,v,w)\\ z=k(u,v,w) \end{matrix}\right.$ - $\displaystyle \iint_Gf(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))\mid \mathbf{J}(u,v,w) \mid {\rm d}u{\rm d}v{\rm d}w$ - $\displaystyle\mathbf{J}(u,v,w)= \begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{u}}&\frac{\partial{x}}{\partial{v}}&\frac{\partial{x}}{\partial{w}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}&\frac{\partial{y}}{\partial{v}}&\frac{\partial{y}}{\partial{w}} \\ \frac{\partial{z}}{\partial{u}}&\frac{\partial{z}}{\partial{v}}&\frac{\partial{z}}{\partial{w}}\end{vmatrix} = \left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right|$ - $\displaystyle {\rm d}V = {\rm d}x {\rm d}y{\rm d}z = \mid\mathbf{J}(u,v,w)\mid{\rm d}u {\rm d}v {\rm d}w \nonumber$ > [!example]- 重积分换元法 > - 将平面直角坐标系 $(x,y)$ 积分变换成极坐标系 $(\rho,\theta)$ 积分 > - 极坐标 > - $\displaystyle\iint_Df(\rho,\theta){\rm d}A=\int^{\theta=\beta}_{\theta=\alpha}\int^{\rho=g_2(\theta)}_{\rho=g_1(\theta)}f(\rho,\theta)\rho{\rm d}\rho{\rm d}\theta$ > - 将空间直角坐标系 $(x,y,z)$ 积分变换成柱坐标系 $(\rho,\theta,z)$ 或者球坐标系 $(r,\theta,\varphi)$ 积分 > - 柱坐标 > - $\displaystyle\iiint_Df(\rho,\theta,z){\rm d}V=\int^{\theta=\beta}_{\theta=\alpha}\int^{\rho=h_2(\theta)}_{\rho=h_1(\theta)}\int^{z=g_2(\rho,\theta)}_{z=g_1(\rho,\theta)}f(\rho,\theta,z){\rm d}z\rho{\rm d}\rho{\rm d}\theta$ > - 球坐标 > - $\displaystyle\iiint_Df(r,\varphi,\theta){\rm d}V=\int^{\theta=\beta}_{\theta=\alpha}\int^{\varphi=\varphi_{\max}}_{\varphi=\varphi_{\min}}\int^{r=g_2(\varphi,\theta)}_{r=g_1(\varphi,\theta)} f(r,\varphi,\theta) r^2\sin{\varphi}{\rm d}r\rho{\rm d}\varphi{\rm d}\theta$