##### 阶乘 - 阶乘 - **阶乘**是[[乘法]]的迭代[[运算]], 适用于[[自然数运算|自然数]], 定义为从 $1$ 到 $n$ 的所有非零自然数的乘积, 规定 $0!=1$. 特别的有上升阶乘 $x^{\overline {n}}$ 和下降阶乘 $x^{\underline {n}}$, 关系是 $n!=1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}$. 阶乘可推广为[[伽马函数]] - $n!=n\times(n−1)\times(n−2)\times\cdots\times2\times 1$ - $\displaystyle n!=\prod^{n}_{i=i}i$ - $\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}$ - $\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}$ - $\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}$