##### 阿贝尔极限定理 - 阿贝尔极限定理 - **阿贝尔极限定理**将[[幂级数]]的极限与其系数之和联系起来, 关于幂级数在收敛边界上的行为. 如果一个幂级数 $\sum^{\infty}_{n=0}a_n x^n$ 在其收敛半径 $R$ 的端点 $|x_0|=R$ 处依然收敛, 那么幂级数的和函数 $f(x)$ 在从内部趋近于这个端点时, 其极限值等于将端点值 $x=x_0$ 代入级数后所得的和. 对于[[实数]], 只需要从左侧 $x\to R^−$ 或右侧 $x\to −R^+$ 沿实轴内部单向逼近, 但是对于[[复数]], 可以从圆盘内部沿无穷多种路径逼近边界点 $|z_0|=R$ , 限制更严格, 必须排除切线方向的逼近, 即要求斯托尔兹角内, 否则结论可能不成立. 点 $z$ 属于斯托尔兹角中, 当且仅当存在一个常数 $K>0$, 使得 $\frac{|z_0-z|}{R-|z|}\leq K$ - $\displaystyle \lim_{x \to R^-} \sum^{\infty}_{n=0}a_n x^n= \sum^{\infty}_{n=0}a_n R^n$ - $\displaystyle \lim_{z \to z_0, z\in S} \sum^{\infty}_{n=0}a_n z^n= \sum^{\infty}_{n=0}a_n z_0^n$