##### 雅可比矩阵 - 雅可比矩阵 - **雅可比矩阵**是[[实函数|多元向量函数]]的一阶[[偏导数]]排列成的[[矩阵]]. 矩阵本身可以表示[[矩阵变换]], 而雅可比矩阵是对多元向量函数的局部线性近似, 是一元函数切线斜率[[导数|导数]]的推广. 可以说导数被重新解释为[[线性变换]]. 可用于[[隐函数定理]], [[反函数定理]]. 对于方阵雅可比矩阵, 可以计算[[行列式]], 称为雅可比行列式, 雅可比行列式描述了空间变换的变化程度, 可用于[[重积分变量替换]] - 设 $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, $\mathbf{r}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$, 其雅可比矩阵 $\mathbf{J}$ 是 $m\times n$ 的矩阵, 即向量对向量求导, 矩阵中行向量即是[[梯度]]列向量转置 - $\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \nabla^{\mathrm T} f_1 \\ \vdots \\ \nabla^{\mathrm T} f_m \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{bmatrix}$ - $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)+\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||)$ - 若 $f: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , 即标量对向量求导, 多元函数的梯度 - $\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial{f}}{\partial x_n}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \nabla^{\mathrm T} f \end{bmatrix}$ - 若 $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^m$ , 即向量对标量求导, 一元向量函数的导数 - $\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \dfrac{{\rm d}{f}_1}{{\rm d} x} \\ \vdots \\ \dfrac{{\rm d}{f}_m}{{\rm d} x} \end{bmatrix}$ - 若 $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , 即标量对标量求导, 一元函数的导数 - $\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \dfrac{{\rm d}{f}}{{\rm d} x}\end{bmatrix}$