##### 集合 - 集合 - **集合**是一组无序互不相同的的对象, 集合中的对象也称为该集合的元素. 特别的, 集合的集合称为[[集合族]], 而一列集合称为[[集合序列]] - $a$ 是集合 $A$ 的元素, 记作 $a\in A$, 否则 $a\notin A$ - 集合表示 - 列举法, 列举集合中的元素 - $A=\{1, 2, 3\}$ 表示包含元素 $1, 2, 3$ 的集合 - 描述法, 使用[[命题]]定义集合中的元素, 可以给定[[谓词逻辑|谓词逻辑]]的谓词 $P$ 和论域 $D$ , 真值集就是 $D$ 中 $P(x)$ 为真的元素集, 记为 $\{x\mid x\in D\land P(x)\}$ - $B=\{x\mid x\in \mathbb{Z}^+ \}$ 表示所有正整数的集合 - $C=\{x\mid x\in\mathbb{Z}\land |x|=1\}=\{-1,1\}$ 表示满足 $|x|=1$ 的整数集合 - 集合相等 - 两个集合相等, 当且仅当它们具有相同的元素 - 记作 $A = B$ - 特殊集合 - 空集, 不包含任何元素的集合 - 记作 $\emptyset$ 或 $\{\}$ - 全集, 包含所有可能元素的集合 - 记作 $U$ - 单元素集合, 是由唯一一个元素组成的集合 - 例如 $\{0\}$ - [[子集]], 如果集合 $A$ 的每个元素也是集合 $B$ 的元素, 那么 $A$ 是 $B$ 的子集 - 记作 $A \subseteq B$ - [[子集|真子集]], 如果 $A$ 是 $B$ 的子集但不等于 $B$, 那么 $A$ 是 $B$ 的真子集 - 记作 $A \subset B$ - [[幂集]], 一个集合 $A$ 的所有子集组成的集合 - 记作 $\mathcal{P}(A)=\{X\mid X\subseteq A\}$ 或 $2^A$ - [[多重集]], 允许元素重复出现的集合 - 记作 $M$ - 集合运算 - [[交集]], 表示同时属于两个或多个集合的元素的集合 - 记作 $A \cap B=\{x\mid x\in{A}\land x\in{B}\}$ - [[并集]], 表示两个或多个集合中的所有元素的集合 - 记作 $A \cup B=\{x\mid x\in{A}\lor x\in{B}\}$ - [[补集]], 表示一个集合中不属于另一个集合的元素的集合 - 记作 $\complement_UA$ , $\bar{A}$ , $A^c$, 等于 $U\setminus A=\{x\mid x\in{U}\land x\notin{A}\}$ - 差集, 表示一个集合中不属于另一个集合的元素的集合 - 记作 $A\setminus B=\{x\mid x\in{A}\land x\notin{B}\}$ - 对称差, 表示只属于其中一个集合, 而不属于另一个集合的元素的集合 - 记作 $A\oplus B=\{x\mid x\in{A}\oplus x\in{B}\}$ - 集合定律 - 恒等律 - $A \cap U = A$ - $A \cup\emptyset =A$ - 支配律 - $A \cup U =U$ - $A \cap \emptyset = \emptyset$ - 幂等律 - $A \cup A =A$ - $A \cap A =A$ - 补律 - $\complement_U{(\complement_UA)}=A$ - 交换律 - $A \cup B = B \cup A$ - $A \cap B = B \cap A$ - 结合律 - $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ - $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ - 分配律 - $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ - 德摩根律 - $\complement_U({A\cup B}) = \complement_UA\cap \complement_UB$ - $\complement_U({A\cap B}) = \complement_UA\cup \complement_UB$ - 吸收律 - $A\cup(A\cap B)=A$ - $A\cap(A\cup B)=A$ - 互补律 - $A\cup\complement_UA = U$ - $A\cap\complement_UA=\emptyset$