##### 集合 - 集合 - **集合**是一组无序互不相同的的对象, 可通过[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]进行公理化. 集合中的对象也称为该集合的元素, 可通过列举法或描述法表示, 列举法即列举集合中的元素, 而描述法使用[[命题]]定义集合中的元素, 给定[[谓词逻辑|谓词逻辑]]的谓词 $P$ 和论域 $D$, 真值集就是 $D$ 中 $P(x)$ 为真的元素集, 记作 $\{x\mid x\in D\land P(x)\}$. 两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素, 记作 $A = B$. 集合支持多种[[集合运算|运算]], 可定义[[集合基数|基数]]和[[集合序数|序数]], 并且在不同分支存在一些特殊构造, 例如[[有序元组|元组]], [[关系]], [[映射]]等, 特别的, 集合的集合称为[[集合族]], 而一列集合称为[[集合序列]], [[数集]]在数学中占有核心地位 - $a$ 是集合 $A$ 的元素, 记作 $a\in A$, 否则 $a\notin A$ - 集合类型 - 空集, 不包含任何元素的集合 - 记作 $\emptyset$ 或 $\{\}$ - 全集, 包含所有可能元素的集合 - 记作 $U$ - 单元素集合, 是由唯一一个元素组成的集合 - 例如 $\{0\}$ - [[子集]], 如果集合 $A$ 的每个元素也是集合 $B$ 的元素, 那么 $A$ 是 $B$ 的子集 - 记作 $A \subseteq B$ - [[子集|真子集]], 如果 $A$ 是 $B$ 的子集但不等于 $B$, 那么 $A$ 是 $B$ 的真子集 - 记作 $A \subset B$ - [[幂集]], 一个集合 $A$ 的所有子集组成的集合 - 记作 $\mathcal{P}(A)=\{X\mid X\subseteq A\}$ 或 $2^A$ - [[多重集]], 允许元素重复出现的集合 - 记作 $M$ >[!example]- 集合 > - $A=\{1, 2, 3\}$ 表示包含元素 $1, 2, 3$ 的集合 > - $B=\{x\mid x\in \mathbb{Z}^+ \}$ 表示所有正整数的集合 > - $C=\{x\mid x\in\mathbb{Z}\land |x|=1\}=\{-1,1\}$ 表示满足 $|x|=1$ 的整数集合